Zirkel und Lineal/Quadratwurzel/Konstruktion/Textabschnitt

Wenn man sich zwei Punkte ${}0$ und ${}1$ vorgibt und man die dadurch definierte Gerade mit ${}\mathbb {R}$ identifiziert, so wird diese Gerade durch ${}0$ in zwei Hälften (Halbgeraden) unterteilt, wobei man dann diejenige Hälfte, die ${}1$ enthält, als positive Hälfte bezeichnet. Aus solchen positiven reellen Zahlen kann man mit Zirkel und Lineal die Quadratwurzel ziehen.

Lemma

Es sei ${}G$ eine mit zwei Punkten ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei ${}a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ aus ${}0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.

Beweis

Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt ${}0$ durch ${}1$ und markieren den zweiten Schnittpunkt dieses Kreises mit ${}G$ als ${}-1$ . Wir halbieren die Strecke zwischen ${}-1$ und ${}a$ gemäß Fakt und erhalten den konstruierbaren Punkt ${}M={\frac {a-1}{2}}\in G$ . Der Abstand von ${}M$ zu ${}a$ als auch zu ${}-1$ ist dann ${}{\frac {a+1}{2}}$ . Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ und Radius ${}{\frac {a+1}{2}}$ und markieren einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zu ${}G$ senkrechten Geraden ${}H$ durch ${}0$ als ${}x$ . Wir wenden den Satz des Pythagoras auf das Dreieck mit den Ecken ${}0,x,M$ an. Daraus ergibt sich

{}x^{2}={\left({\frac {a+1}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a-1}{2}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}+2a+1-(a^{2}-2a+1)}{4}}={\frac {4a}{4}}=a\,.

Also repräsentiert (der Abstand von ${}0$ zu) ${}x$ die Quadratwurzel aus ${}a$ .

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Die nächste Aussage bedeutet, dass man zu einem gegebenen Rechteck ein flächengleiches Quadrat konstruieren kann.

Korollar

Es sei ein Rechteck in der Ebene gegeben.

Dann lässt sich mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren.

Beweis

Die Längen der Rechteckseiten seien ${}a$ und ${}b$ . Wir wählen einen Eckpunkt des Rechtecks als Nullpunkt und verwenden die Geraden durch die anliegenden Rechteckseiten als Koordinatenachsen. Wir wählen willkürlich einen Punkt ${}1$ ( ${}\neq 0$ ) auf einer der Achsen und schlagen einen Kreis um den Nullpunkt durch den Eckpunkt auf der anderen Achse, sodass beide Seitenlängen auf der mit ${}0$ und ${}1$ markierten Achse liegen. Darauf führen wir die Multiplikation ${}ab$ nach Fakt durch. Aus diesem Produkt zieht man nun gemäß Fakt die Quadratwurzel und erhält somit ${}{\sqrt {ab}}$ . Mit dieser Streckenlänge konstruiert man ein Quadrat, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt des vorgegebenen Rechtecks ist.

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Man beachte, dass im Beweis der vorstehenden Aussage die Zahl ${}ab$ von der Wahl der ${}1$ abhängt, nicht aber ${}{\sqrt {ab}}$ und damit natürlich auch nicht die Seitenlänge des konstruierten Quadrats.