Zweites Dachprodukt des R^n/Flächeninhalt von Parallelotopen faktorisiert/Aufgabe

Wir betrachten das zweite Dachprodukt ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}$ mit der Standardbasis ${}e_{i}\wedge e_{j}$, ${}i<j$, und der zugehörigen Dualbasis ${}\varphi _{ij}=e_{ij}^{*}$. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \varphi (x)={\sqrt {\sum _{i<j}(\varphi _{ij}(x))^{2}}},$

die Eigenschaft besitzt, dass ${}\varphi (v\wedge w)$ mit dem Flächeninhalt des von ${}v$ und ${}w$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ aufgespannten Parallelogramms

übereinstimmt.

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