Äquivalenzrelation/Äquivalenzklassen und Repräsentanten in Beispielen/Bemerkung

Wir betrachten in einigen Beispielen von Äquivalenzrelationen die Äquivalenzklassen. Wenn die Äquivalenzrelation die Gleichheit ist, so sind alle Äquivalenzklassen einelementig und die Äquivalenzklasse zu $x$ ist einfach die einelementige Menge  $[x]=\{x\}$.  Im anderen Extremfall, wenn alle Elemente zueinander äquivalent sind, so gibt es nur eine einzige Äquivalenzklasse, nämlich die Gesamtmenge $M$.

Bei der Äquivalenzrelation auf der Menge der Bruchterme, die durch die Wertegleichheit in $\mathbb{Q}$ gegeben ist, besteht die Äquivalenzklasse zu $\frac{a}{b}$ aus allen anderen Bruchdarstellungen dieser Zahl, also beispielsweise aus $\frac{a}{b},\frac{2a}{2b},\frac{3a}{3b},\dots$. Ein Repräsentantensystem liegt in der Menge aller gekürzten Brüche vor.

Wenn eine Äquivalenzrelation auf $M$ durch eine Abbildung $f:M\to N$ im Sinne von Fakt festgelegt ist, so sind die Äquivalenzklassen die nichtleeren Fasern der Abbildung. Die Äquivalenzklasse zu  $x\in M$  besteht aus dem Urbild von $f(x)$, ist also gleich

$f^{-1}(f(x))=\{y\in M\mid f(y)=f(x)\}.$

Um ein Repräsentantensystem zu erhalten, muss man aus jeder Faser ein Element auswählen. Im Allgemeinen gibt es hier kein besonders einfaches Repräsentantensystem.

In Beispiel besteht die Äquivalenzklasse zu  $x\in K$  aus $\{x,-x\}$ (wobei diese beiden Zahlen nicht unbedingt, wie etwa bei $x=0$, verschieden sein müssen). Wenn $K$ angeordnet ist, so kann man die nichtnegativen Elemente $K_{\ge 0}$ als ein übersichtliches Repräsentantensystem heranziehen.

In Beispiel bei der durch die Gaußklammer gegebenen Äquivalenzrelation besteht die Äquivalenzklasse zu $x$ aus dem halboffenen Intervall

$[\lfloor x\rfloor ,\lfloor x\rfloor +1[=\{y\in K\mid y\ge \lfloor x\rfloor \text{ und }y<\lfloor x\rfloor +1\}.$

Ein besonders einfaches Repräsentantensystem ist durch die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ gegeben.

Bei der durch das Betrachten des Bruchanteils (der Nachkommazahl) gegebenen Äquivalenzrelation auf $K$ besteht die Äquivalenzklasse zu $x$ aus der Menge $x+\mathbb{Z}$, also aus allen Zahlen, die man von $x$ aus mit einem ganzzahligen Schritt erreichen kann. Die Menge der Zahlen zwischen $0$ und $1$ einschließlich der $0$ und ausschließlich der $1$, also der Zahlen aus dem halboffenen Intervall $[0,1[$, ist ein Repräsentantensystem.

In Beispiel, der Erreichbarkeitsrelation auf dem Landweg, besteht die Äquivalenzklasse zu $x$ aus der Insel bzw. dem Kontinent, auf denen der Punkt $x$ liegt.