Äquivalenzrelation/Äquivalenzklassen und Repräsentanten in Beispielen/Bemerkung

Wir betrachten in einigen Beispielen von Äquivalenzrelationen die Äquivalenzklassen. Wenn die Äquivalenzrelation die Gleichheit ist, so sind alle Äquivalenzklassen einelementig und die Äquivalenzklasse zu ${}x$ ist einfach die einelementige Menge ${}[x]=\{x\}$. Im anderen Extremfall, wenn alle Elemente zueinander äquivalent sind, so gibt es nur eine einzige Äquivalenzklasse, nämlich die Gesamtmenge ${}M$.

Bei der Äquivalenzrelation auf der Menge der Bruchterme, die durch die Wertegleichheit in ${}\mathbb {Q}$ gegeben ist, besteht die Äquivalenzklasse zu ${}{\frac {a}{b}}$ aus allen anderen Bruchdarstellungen dieser Zahl, also beispielsweise aus ${}{\frac {a}{b}},{\frac {2a}{2b}},{\frac {3a}{3b}},\ldots$. Ein Repräsentantensystem liegt in der Menge aller gekürzten Brüche vor.

Wenn eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ durch eine Abbildung ${}f\colon M\rightarrow N$ im Sinne von Fakt festgelegt ist, so sind die Äquivalenzklassen die nichtleeren Fasern der Abbildung. Die Äquivalenzklasse zu ${}x\in M$ besteht aus dem Urbild von ${}f(x)$, ist also gleich

${}f^{-1}(f(x))={\left\{y\in M\mid f(y)=f(x)\right\}}\,.$

Um ein Repräsentantensystem zu erhalten, muss man aus jeder Faser ein Element auswählen. Im Allgemeinen gibt es hier kein besonders einfaches Repräsentantensystem.

In Beispiel besteht die Äquivalenzklasse zu ${}x\in K$ aus ${}\{x,-x\}$ (wobei diese beiden Zahlen nicht unbedingt, wie etwa bei ${}x=0$, verschieden sein müssen). Wenn ${}K$ angeordnet ist, so kann man die nichtnegativen Elemente ${}K_{\geq 0}$ als ein übersichtliches Repräsentantensystem heranziehen.

In Beispiel bei der durch die Gaußklammer gegebenen Äquivalenzrelation besteht die Äquivalenzklasse zu ${}x$ aus dem halboffenen Intervall

${}[\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor x\right\rfloor +1[={\left\{y\in K\mid y\geq x{\text{ und }}y<x+1\right\}}\,.$

Ein besonders einfaches Repräsentantensystem ist durch die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ gegeben.

Bei der durch das Betrachten des Bruchanteils (der Nachkommazahl) gegebenen Äquivalenzrelation auf ${}K$ besteht die Äquivalenzklasse zu ${}x$ aus der Menge ${}x+\mathbb {Z}$, also aus allen Zahlen, die man von ${}x$ aus mit einem ganzzahligen Schritt erreichen kann. Die Menge der Zahlen zwischen ${}0$ und ${}1$ einschließlich der ${}0$ und ausschließlich der ${}1$, also der Zahlen aus dem halboffenen Intervall ${}[0,1[$, ist ein Repräsentantensystem.

In Beispiel, der Erreichbarkeitsrelation auf dem Landweg, besteht die Äquivalenzklasse zu ${}x$ aus der Insel bzw. dem Kontinent, auf der bzw. dem der Punkt ${}x$ liegt.