1-Form/K/Vektorräume/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $G\subseteq V$  eine offene Teilmenge und sei ${ℰ}^{}(G,W)$ die Menge der $1$-Formen auf $G$ mit Werten in $W$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. ${ℰ}^{}(G,W)$ ist mit den natürlichen Operationen versehen ein $𝕂$-Vektorraum.
2. Zu einer Differentialform  $\omega \in {ℰ}^{}(G,W)$  und einer Funktion

   $f:G⟶𝕂$

   ist auch  $f\omega \in {ℰ}^{}(G,W)$,  wobei $f\omega$ durch

   $(f\omega )(P):=f(P)\omega (P)$

   definiert ist.

3. Jede $C^1$-differenzierbare Abbildung

   $f:G⟶W$

   definiert über das totale Differential eine $1$-Differentialform

   $df=Df:G⟶{\mathrm{Hom}}_{𝕂}(V,W),P⟼{\left(Df\right)}_P.$

   Dies ergibt eine Abbildung

   $d:C^1(G,W)⟶{ℰ}^{}(G,W),f⟼df.$

4. Die Abbildung $d$ aus (3) ist $𝕂$-linear.

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