ADE/Zweidimensional/Fixpunktfreie Operation/Lokale Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die zu ${}\sigma \in G$ gehörende lineare Abbildung besitze einen Fixpunkt ${}\neq 0$. Dann ist dies ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$. Da ${}\sigma$ nach Fakt diagonalisierbar ist, ist in einer geeigneten Basis

${}\sigma ={\begin{pmatrix}1&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}\,$

und wegen ${}G\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ ist ${}\zeta =1$, also ist ${}\sigma$ die Identität.
(2) folgt aus (1) und Fakt, unter Berücksichtigung von Aufgabe und Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage