Abelsche Gruppe/Galoisgruppe einer Galoiserweiterung von Q/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt lässt sich ${}G$ als Restklassengruppe einer Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ auffassen. Es sei

$q\colon {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\longrightarrow G$

der zugehörige surjektive Restklassenhomomorphismus und ${}H$ der Kern davon. Nach Fakt ist ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ die Galoisgruppe der ${}n$-ten Kreisteilungserweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$. Es sei ${}M\subseteq K_{n}$ der Fixkörper zu ${}H$. Nach Fakt ist ${}\mathbb {Q} \subseteq M$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$.

Zur bewiesenen Aussage