Abelsche Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Einführung/Endlich erzeugt/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und sei

h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}

eine Funktion. Wir nennen ${}h$ eine schwache Höhenfunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

Zu ${}P\in G$ gibt es eine reelle Zahl ${}S_{1}$ derart, dass
${}h(P+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}\,$

für alle ${}Q\in G$ gilt.
Es gibt eine natürliche Zahl ${}m\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ und eine Konstante ${}S_{2}$ derart, dass
${}h(mP)\geq m^{2}h(P)-S_{2}\,$

für alle ${}P\in G$ gilt.
Für jede Schranke ${}S$ ist die Menge
${\left\{x\in G\mid h(x)\leq S\right\}}$

endlich.

Wenn man die Rolle des ${}m$ aus Teil (2) betonen möchte, so spricht man von einer schwachen Höhenfunktion für die ${}m$ -Vervielfachung.

Auf dem ${}\mathbb {Z} ^{n}$ induzierte jede Norm auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ über ${}h(P)=\Vert {P}\Vert ^{2}$ eine schwache Höhenfunktion. Die Endlichkeitsbedingung (3) ist klar (man denke etwa an die Maximumsnorm). Die Dreiecksabschätzung ergibt

{}{\begin{aligned}h(P+Q)&=\Vert {P+Q}\Vert ^{2}\\&\leq {\left(\Vert {P}\Vert +\Vert {Q}\Vert \right)}^{2}\\&=\Vert {P}\Vert ^{2}+\Vert {Q}\Vert ^{2}+2\Vert {P}\Vert \cdot \Vert {Q}\Vert \\&=h(Q)+\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {P}\Vert \cdot \Vert {Q}\Vert \\&\leq 2h(Q)+S_{1},\end{aligned}}

wobei die letzte Abschätzung darauf beruht, dass bei fixiertem ${}P$ bis auf endlich viele Ausnahmen ${}\Vert {P}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert {Q}\Vert$ gilt. In der Eigenschaft (2) gilt Gleichheit mit ${}S_{2}=0$ ,

Lemma

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und sei ${}m\geq 2$ eine fixierte natürliche Zahl.

Dann ist ${}G$ genau dann endlich erzeugt, wenn ${}G$ eine schwache Höhenfunktion für die ${}m$ -Vervielfachung besitzt und die Restklassengruppe ${}G/mG$ endlich ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}G$ endlich erzeugt. Dann ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

{}G=\mathbb {Z} ^{r}\times T\,

mit einer endlichen Torsionsgruppe ${}T$ . Wir betrachten

\mathbb {Z} ^{r}\times T{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{r}.

Dann ergibt jede Norm auf ${}\mathbb {R} ^{r}$ im Quadrat genommen eine schwache Höhenfunktion auf ${}G$ , siehe Beispiel. Ferner ist

{}G/mG=\mathbb {Z} ^{r}\times T/m{\left(\mathbb {Z} ^{r}\times T\right)}={\left(\mathbb {Z} /(m)\right)}^{r}\times T/mT\,

endlich.

Zum Beweis der Umkehrung sei eine schwache Höhenfunktion ${}h$ gegeben und sei ${}A\subseteq G$ ein Repräsentantensystem für die nach Voraussetzung endliche Restklassengruppe ${}G/mG$ . Zu jedem ${}a\in A$ gibt es eine reelle Zahl ${}S_{1}(a)$ derart, dass

{}h(-a+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}(a)\,

für alle ${}Q\in G$ . Wir setzen

{}S:=S_{2}+\max\{S_{1}(a),\,a\in A\}\,,

wobei ${}S_{2}$ von der zweiten Eigenschaft einer schwachen Höhenfunktion herrührt. Zu jedem ${}P\in G$ gibt es ein ${}a\in A$ mit ${}[P]=[a]$ in ${}G/mG$ , daher gibt es ein ${}P'\in G$ mit ${}P=mP'+a$ in ${}G$ . Dabei gilt