Affine Abbildung/Basis/Bildpunkte/Abbildungseigenschaften/Aufgabe

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$, es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in E$ eine affine Basis von ${}E$ und seien ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in F$ Punkte. Es sei

$\psi \colon E\longrightarrow F$

die zugehörige affin-lineare Abbildung mit

${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,.$

Zeige die folgenden Aussagen.

a) ${}\psi$ ist genau dann bijektiv, wenn ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ eine affine Basis von ${}F$ ist.

b) ${}\psi$ ist genau dann injektiv, wenn ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ affin unabhängig ist.

c) ${}\psi$ ist genau dann surjektiv, wenn ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ ein affines Erzeugendensystem von ${}F$ ist.

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