Affiner Raum/Affine Basis/Hyperebenenrealisierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}E$ ein affiner Raum mit einer affinen Basis ${}P_{1},\ldots ,P_{n},P_{n+1}$.

Dann ist die Abbildung

$E\longrightarrow K^{n+1},\,P\longmapsto (a_{1},\ldots ,a_{n},a_{n+1}),$

wobei ${}a_{i}$ die baryzentrischen Koordinaten von ${}P$ sind, eine affin-lineare Abbildung, die eine affine Isomorphie zwischen ${}E$ und dem affinen Unterraum ${}F\subset K^{n+1}$ stiftet, der durch

${}F={\left\{x\in K^{n+1}\mid \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\}}\,$

gegeben ist. Der Vektorraum zu ${}F$ ist

${}W={\left\{x\in K^{n+1}\mid \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=0\right\}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen