Affiner Raum/Untervektorraum/Affiner Restklassenraum/Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$ und es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Wir definieren auf ${}E$ eine Relation ${}\sim$ durch

$P\sim Q{\text{ genau dann, wenn }}\exists v\in U{\text{ mit }}P=Q+v.$

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Zeige, dass ${}F:=E/\sim$ ein affiner Raum über dem Restklassenraum ${}V/U$ ist.
3. Zeige, dass die kanonische Projektion

   $E\longrightarrow E/\sim$

   eine affine Abbildung ist.

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