Affines Schema/Modul/Hauptmenge/Nenneraufnahme/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}M\rightarrow \Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}$. Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}s\in \Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}$ ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})\,$

und Elemente

${}s_{i}={\frac {a_{i}}{f_{i}^{k_{i}}}}\,$

mit ${}a_{i}\in M$ gibt, die als Schnitte über

${}D(f_{i})\cap D(f_{j})=D(f_{i}f_{j})\,,$

also als Elemente in ${}M_{f_{i}f_{j}}$ übereinstimmen. Nach Fakt können wir annehmen, dass ${}I$ endlich ist. Ferner können wir die ${}k_{i}$ durch ihr Maximum ${}k$ ersetzen (was natürlich die lokalen Zähler ${}a_{i}$ auch ändert). Die Verträglichkeit ${}{\frac {a_{i}}{f_{i}^{k}}}={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}$ bedeutet die Existenz von Gleichungen

${}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}=(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\,$

in ${}M$, wobei wir ${}m$ als ein Maximum gewählt haben. Nach Fakt  ((2), (4)) erzeugen die ${}f_{i}$, ${}i\in I$, das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für die ${}f_{i}^{m+k}$, ${}i\in I$, d.h. es gibt ${}g_{i}\in R$ mit

${}1=\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\,.$

Wir setzen

${}a:=\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\,.$

Es ist dann

${}{\begin{aligned}af_{j}^{m+k}&={\left(\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\right)}f_{j}^{m+k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\\&=a_{j}f_{j}^{m}{\left(\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\right)}\\&=a_{j}f_{j}^{m}.\end{aligned}}$

Dies bedeutet wiederum ${}a={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}=s_{j}$ in ${}M_{f_{j}}$, d.h. der Schnitt wird von einem Modulelement repräsentiert.

Wir betrachten nun die Situation auf ${}D(f)$. Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man ${}M_{f}$ als neuen Modul ansetzt.

Zur bewiesenen Aussage