Algebra/Endlicher Typ/Noethersche Normalisierung/Textabschnitt

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Die geometrische Idee zur noetherschen Normalisierung ist, dass man eine abgeschlossene Untervarietät durch eine geeignete (und zwar generische) Projektion auf einen niedrigerdimensionalen affinen Raum als geometrisches Objekt mit endlichen Fasern über einer Varietät (wobei nicht klar ist, warum das Bild wieder affin-algebraisch ist) realisieren kann. Bei ist man fertig, andernfalls projiziert man weiter. Die Endlichkeit der Fasern wird durch die stärkere Eigenschaft, dass die Abbildung ein endlicher Morphismus ist, sichergestellt. Dass es hinreichend viele Projektionsmöglichkeiten gibt, erfordert im Fall eines endlichen Grundkörpers eine besondere Vorsicht.



Satz  

Es sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom.

Dann gibt es einen -Algebraautomorphismus des Polynomringes derart, dass die Form

mit und mit für besitzt.

Beweis  

Wir nehmen zusätzlich an, dass der Körper unendlich viele Elemente besitzt. Wir betrachten lineare Automorphismen der Form für und . Es sei

die Zerlegung in die homogenen Komponenten. Wir setzen . in ein, wobei aus einem Monom vom maximalen Grad der Ausdruck

wird. Wenn man dies ausmultipliziert, so erhält man einen Ausdruck plus eine Summe von Monomen mit Koeffizienten, in denen neben zumindest noch eine weitere Variable vorkommt. Die Summe über alle Ausdrücke der Form zu vom Grad stimmt dabei mit

überein. Wegen und da der Körper unendlich ist, gibt es Tupel derart, dass dies nicht ist.




Satz  

Es sei ein Körper und eine -Algebra vom endlichen Typ.

Dann gibt es algebraisch unabhängige Elemente derart, dass

endlich ist.

Beweis