Algebraische Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom und ${}P\in K^{n}$ ein kritischer Punkt von ${}f$.

Dann ist ${}P$ genau dann ein nichtausgearteter kritischer Punkt, wenn die partiellen Ableitungen ${}\partial _{i}f$ in der Lokalisierung ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ das maximale Ideal erzeugen, wenn also das Jacobiideal im Punkt ${}P$ mit dem maximalen Ideal übereinstimmt, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Milnorzahl von ${}f$ in ${}P$ gleich ${}1$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen