Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Unter dem uneigentlichen Integral zu ${}f$ versteht man den Grenzwert

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,\int _{0}^{x}f(t)\,dt,$

   falls dieser existiert.

2. Zu zwei Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

   ${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$

   den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

3. Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei

   $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$

   eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

   $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$

   ein Zentralfeld.

4. Die ${}n\times n$-Matrix

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

   heißt die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.

5. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

   ${}f(x)\leq f(x')\,$

   gilt.

6. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

   ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

   konvergiert.

Zur gelösten Aufgabe