Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Unter der von $ℰ$ erzeugten $\sigma$-Algebra versteht man die kleinste $\sigma$-Algebra, die $ℰ$ enthält.
2. Man nennt das auf $(M,𝔓(M))$ durch

   $z(T)=\{\begin{array}{c}\mathrm{\#}\left(T\right),\text{ falls }T\text{ endlich},\\ \mathrm{\infty }\text{ sonst},\end{array}$

   definierte Maß das Zählmaß auf $M$.

3. Ein Maß auf $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq {ℝ}^n$ und alle Vektoren $v\in {ℝ}^n$ die Gleichheit

   $\mu (T)=\mu (T+v)$

   gilt.

4. Ein topologischer Hausdorffraum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}{U}_i$ und Karten

   ${\alpha }_i:U_i⟶V_i$

   mit $V_i\subseteq {ℝ}^n$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen

   ${\alpha }_j\circ ({\alpha }_i{)}^{-1}:V_i\cap {\alpha }_i(U_i\cap U_j)⟶V_j\cap {\alpha }_j(U_i\cap U_j)$

   $C^1$-Diffeomorphismen für alle $i,j\in I$ sind, heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit.

5. Unter der Tangentialabbildung im Punkt $P$ versteht man die Abbildung

   $T_{P}M⟶T_{\phi (P)}N,[\gamma ]⟼[\phi \circ \gamma ].$

6. Ein topologischer Raum $X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

   $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i\text{ mit }{U}_i\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }$

   eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass

   $X=\bigcup _{i\in J}{U}_i$

   ist.

Zur gelösten Aufgabe