Angeordneter Körper/Monotone Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.

Als gemeinsame Bezeichnung spricht man von (streng) monotonen Funktionen.



Lemma  

Es sei ein angeordneter Körper, eine Teilmenge und

eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.

Dann ist injektiv.

Beweis  

Seien verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist oder , wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei strenger wachsender Monotonie folgt daraus

und insbesondere sind und verschieden, also ist die Abbildung injektiv.




Lemma  

Es sei ein angeordneter Körper, und

die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Bei ist streng wachsend.
  2. Bei ist konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend.
  3. Bei ist streng fallend.

Beweis  

Die Aussagen folgen aus Fakt, wenn man dort durch ersetzt. Wir führen dies für (1) aus. Sei

und . Dann ist

und damit

also

und somit

Insbesondere ist die Negation

streng fallend.

Die Funktionen, deren Monotonieverhalten in der folgenden Aussage besprochen wird, heißen Potenzfunktionen.

Die zweite Potenz ist im Positiven streng wachsend und im Negativen streng fallend.
Die dritte Potenz ist auf ganz bzw. streng wachsend.



Lemma  

Es sei ein angeordneter Körper und . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Abbildung

    ist streng wachsend.

  2. Die Abbildung

    ist bei ungerade streng wachsend.

  3. Die Abbildung

    ist bei gerade streng fallend.

Beweis  

Der erste Teil folgt unmittelbar durch -fache Anwendung von Fakt  (6), die beiden weiteren Teile ergeben sich daraus durch Berücksichtigung der Negation und Fakt  (3).