Angeordneter Körper/Monotone Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und  ${}T\subseteq K$  eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente  ${}x,x'\in T$  mit  ${}x\leq x'$  auch  ${}f(x)\leq f(x')$  gilt.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und  ${}T\subseteq K$  eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente  ${}x,x'\in T$  mit  ${}x<x'$  auch  ${}f(x)<f(x')$  gilt.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und  ${}T\subseteq K$  eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt fallend, wenn für je zwei Elemente  ${}x,x'\in T$  mit  ${}x\leq x'$  die Abschätzung  ${}f(x)\geq f(x')$  gilt.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und  ${}T\subseteq K$  eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente  ${}x,x'\in T$  mit  ${}x<x'$  die Abschätzung  ${}f(x)>f(x')$  gilt.

Als gemeinsame Bezeichnung spricht man von (streng) monotonen Funktionen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper,  ${}T\subseteq K$  eine Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow K$

eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.

Dann ist ${}f$ injektiv.

Beweis

Es seien  ${}x,y\in T$  verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist  ${}x>y$  oder  ${}y>x$,  wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei streng wachsender Monotonie folgt daraus

${}f(x)>f(y)\,$

und insbesondere sind ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden, also ist die Abbildung injektiv.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper,  ${}c\in K$  und

$f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Bei  ${}c>0$  ist ${}f$ streng wachsend.
2. Bei  ${}c=0$  ist ${}f$ konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend.
3. Bei  ${}c<0$  ist ${}f$ streng fallend.

Beweis

Die Aussagen folgen aus Fakt, wenn man dort ${}\geq$ durch ${}>$ ersetzt. Wir führen dies für (1) aus. Sei

${}c>0\,$

und  ${}x>y$.  Dann ist

${}x-y>0\,$

und damit

${}c(x-y)>0\,,$

also

${}cx-cy>0\,$

und somit

${}cx>cy\,.$

$\Box$

Insbesondere ist die Negation

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto -x,$

streng fallend.

Die Funktionen, deren Monotonieverhalten in der folgenden Aussage besprochen wird, heißen Potenzfunktionen.

Die zweite Potenz ist im Positiven streng wachsend und im Negativen streng fallend.

Die dritte Potenz ist auf ganz ${}\mathbb {Q}$ bzw. ${}\mathbb {R}$ streng wachsend.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung

   $K_{\geq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist streng wachsend.

2. Die Abbildung

   $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist bei ${}n$ ungerade streng wachsend.

3. Die Abbildung

   $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist bei ${}n$ gerade streng fallend.

Beweis

Der erste Teil folgt unmittelbar durch ${}n$-fache Anwendung von Fakt  (6), die beiden weiteren Teile ergeben sich daraus durch Berücksichtigung der Negation und Fakt  (3).

$\Box$