Angeordneter Körper/Monotone Abbildungen/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung
heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.
Definition
Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung
heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.
Definition
Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung
heißt fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.
Definition
Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung
heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.
Als gemeinsame Bezeichnung spricht man von (streng) monotonen Funktionen.
Lemma
Es sei ein angeordneter Körper, eine Teilmenge und
eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.
Dann ist injektiv.
Beweis
Es seien verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist oder , wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei streng wachsender Monotonie folgt daraus
und insbesondere sind und verschieden, also ist die Abbildung injektiv.
Lemma
Es sei ein angeordneter Körper, und
die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Bei ist streng wachsend.
- Bei ist konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend.
- Bei ist streng fallend.
Beweis
Die Aussagen folgen aus Fakt, wenn man dort durch ersetzt. Wir führen dies für (1) aus. Sei
und . Dann ist
und damit
also
und somit
Insbesondere ist die Negation
streng fallend.
Die Funktionen, deren Monotonieverhalten in der folgenden Aussage besprochen wird, heißen Potenzfunktionen.
Lemma
Es sei ein angeordneter Körper und . Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Abbildung
ist streng wachsend.
- Die Abbildung
ist bei ungerade streng wachsend.
- Die Abbildung
ist bei gerade streng fallend.