Artinscher lokaler Ring/Freie Moduln/Homomorphismus/Injektiv und direkter Summand/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler artinscher Ring und ${}\varphi \colon F\rightarrow G$ ein Modulhomomorphismus zwischen den endlich erzeugten freien ${}R$-Moduls ${}F$ und ${}G$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}F$ ein direkter Summand von ${}G$ ist.

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