Auflösbarkeit der Gleichung vierten Grades/Mit Auflösbar/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}L$ der Zerfällungskörper von ${}F$ über ${}K$, der aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik nach Fakt eine Galoiserweiterung ist. Sei ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Über ${}L$ besitzt ${}F$ maximal ${}d=\operatorname {grad} \,(F)$ Nullstellen. Nach Fakt ist ${}G$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen, also ist jedenfalls ${}G\subseteq S_{4}$. Wegen Fakt und Fakt ist somit ${}G$ eine auflösbare Gruppe. Aus Fakt folgt daher die Auflösbarkeit des Zerfällungskörpers über ${}K$.

Zur bewiesenen Aussage