Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Widerspruchsfreiheit/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge und sei . Man sagt, dass aus ableitbar ist, geschrieben

wenn es endlich viele Ausdrücke derart gibt, dass

gilt.

Die vorgegebene Ausdrucksmenge kann endlich oder unendlich sein, in der Ableitungsbeziehung kommen aber stets nur endlich viele Ausdrücke aus vor (eine „unendliche Konjunktion“ ist gar nicht definiert). Die Menge der aus einer gegebenen Ausdrucksmenge ableitbaren Ausdrücke bezeichnet man mit , also

Wegen (nach Fakt) gilt . Bei sagt man, dass abgeschlossenen unter Ableitungen ist. Die aus der leeren Menge ableitbaren Ausdrücke sind gerade die (syntaktischen) Tautologien.

Aus den (Grund- oder abgeleiteten) Tautologien ergeben sich direkt Regeln für die Ableitungsbeziehung.


Lemma

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge .

Dann gelten folgende Regeln für die Ableitungsbeziehung (dabei seien Aussagen).

  1. Konjunktionsregel: genau dann, wenn und .
  2. Kettenschlussregel: Wenn und , dann auch .
  3. Modus ponens: Wenn und , dann ist auch .
  4. Wenn , so auch .
  5. Wenn und , dann auch .
  6. Widerspruchsregel: Wenn und , dann auch .
  7. Fallunterscheidungsregel: Wenn und , dann auch .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Definition  

Eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge heißt widersprüchlich, wenn es einen Ausdruck mit und gibt. Eine nicht widersprüchliche Ausdrucksmenge heißt widerspruchsfrei.

Nach Fakt  (6) kann man aus einer widersprüchlichen Aussagenmenge jede Aussage ableiten.