Ausschöpfung/Schrumpfung/Riemannsche Summen/Monotone Funktion/Aufgabe

Es sei

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine streng wachsende Funktion. Zu ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ betrachten wir die äquidistante Unterteilung des Einheitsintervalls in ${}k$ gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere Treppenfunktion ${}s_{k}$ von ${}f$ und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion ${}t_{k}$. Es seien ${}S_{k}$ bzw. ${}T_{k}$ die zugehörigen Subgraphen.

a) Zeige, dass im Allgemeinen ${}S_{k}$, ${}k\in \mathbb {N} _{+}$, keine Ausschöpfung und ${}T_{k}$, ${}k\in \mathbb {N} _{+}$, keine Schrumpfung ist.

b) Zeige, dass ${}S_{2^{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Ausschöpfung und ${}T_{2^{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Schrumpfung ist.

c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von ${}f$?

d) Wogegen konvergieren die zugehörigen Folgen von Treppenintegrale?

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