Ausschöpfung/Schrumpfung/Riemannsche Summen/Monotone Funktion/Aufgabe

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Es sei

eine streng wachsende Funktion. Zu betrachten wir die äquidistante Unterteilung des Einheitsintervalls in gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere Treppenfunktion von und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion . Es seien bzw. die zugehörigen Subgraphen.

a) Zeige, dass im Allgemeinen , , keine Ausschöpfung und , , keine Schrumpfung ist.

b) Zeige, dass , , eine Ausschöpfung und , , eine Schrumpfung ist.

c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von ?

d) Wogegen konvergieren die zugehörigen Folgen von

Treppenintegrale?