Treppenfunktionen/Ober und Unterintegral/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Eine Treppenfunktion. Im statistischen Kontext spricht man von Histogrammen oder von Säulendiagrammen.



Definition  

Sei ein reelles Intervall mit den Grenzen . Dann heißt eine Funktion

eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

von derart gibt, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.

Diese Definition stellt also keine Bedingung an den Wert der Funktion an den Unterteilungspunkten. Das Intervall nennt man -tes Teilintervall, und heißt Länge dieses Teilintervalls. Wenn die Länge der Teilintervalle konstant ist, so spricht man von einer äquidistanten Unterteilung.


Definition  

Sei ein reelles Intervall mit den Grenzen und sei

eine Treppenfunktion zur Unterteilung und den Werten , . Dann heißt

das Treppenintegral von auf .

Das Treppenintegral wird auch mit bezeichnet. Bei einer äquidistanten Unterteilung mit der Teilintervalllänge ist das Treppenintegral gleich . Das Treppenintegral ist nicht von der gewählten Unterteilung abhängig, bezüglich der eine Treppenfunktion vorliegt (man kann also die Unterteilung verfeinern).


Definition  

Sei ein beschränktes Intervall und sei

eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist. Eine Treppenfunktion

heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.

Eine obere (untere) Treppenfunktion zu gibt es genau dann, wenn nach oben (nach unten) beschränkt ist.


Definition  

Sei ein beschränktes Intervall und sei

eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von auf .


Definition  

Sei ein beschränktes Intervall und sei

eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt

ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von auf .

Verschiedene obere (untere) Treppenfunktionen liefern natürlich verschiedene Obersummen (Untersummen).


Definition  

Sei ein beschränktes Intervall und sei

eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von das Oberintegral von .


Definition  

Sei ein beschränktes Intervall und sei

eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Untersummen von unteren Treppenfunktionen von das Unterintegral von .

Die Beschränkung nach unten stellt sicher, dass es überhaupt eine untere Treppenfunktion gibt und damit die Menge der Untersummen nicht leer ist. Unter dieser Bedingung allein muss nicht unbedingt die Menge der Untersummen ein Supremum besitzen. Für (beidseitig) beschränkte Funktionen existiert hingegen stets das Ober- und das Unterintegral. Bei einer gegebenen Unterteilung gibt es eine kleinste obere (größte untere) Treppenfunktion, die durch die Suprema (Infima) der Funktion auf den Teilintervallen festgelegt ist (bei stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind das Maxima bzw. Minima). Für das Integral muss man aber Treppenfunktionen zu sämtlichen Unterteilungen berücksichtigen.