Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Lineare Algebra

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Als Probe berechnen wir


Zu einer endlichen Menge bezeichnet man mit die Anzahl der Elemente von .

Aufgabe

Es seien und zwei disjunkte endliche Mengen. Zeige, dass die Anzahl der (disjunkten) Vereinigung gleich der Summe der beiden Anzahlen der beiden Mengen ist.


Aufgabe

Es seien und zwei endliche Teilmengen einer Menge . Zeige, dass die Formel

gilt.


Aufgabe

Es seien und endliche Mengen. Zeige, dass die Produktmenge ebenfalls endlich ist, und dass die Beziehung

gilt.











Definition  

Ein normierter -Vektorraum, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Banach-Raum.



Definition  

Ein -Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbert-Raum.

Ein Hilbert-Raum ist ein Banach-Raun und ein euklidischer Raum ist insbesondere ein Hilbert-Raum. Diese beiden Begriffe werden vor allem für unendlich dimensionale Vektorräume eingesetzt.


Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine

Abbildung in einen endlichdimensionalen normierten Vektorraum mit den Komponentenfunktionen

bezüglich einer Basis von . Zeige, dass der Limes

genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten

existieren.


Aufgabe

Wie hoch muss ein Spiegel mindestens sein, damit man sich in ihm vollständig sehen kann (ohne sich zu verrenken)?





Mithilfe von Fakt lässt sich der Abstand des Schnittpunkts zum durch aufgespannten Untervektorraum mithilfe des Skalarprodukts mit dem normierten zur Geraden orthogonalen Vektor berechnen. Ebenso lässt sich der Abstand der Dreiecksseite zu dem Untervektorraum berechnen. Die Differenz liefert den Abstand des Schnittpunkts zur Seite.


Der rechte Summand ist und dies bleibt gleich, wenn wir die Punkte zyklisch vertauschen. Daher sind alle drei Abstände gleich.

Man kann auch zur Berechnung des Schnittpunkts die obige Bedingung mit multiplizieren, um die Brüche wegzukriegen, und als lineares Gleichungssystem

schreiben.

Mit Cramer: