Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitte und Modulgarbenhomomorphismus/Festlegungssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  ist  ${}\Gamma \left(U,{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right)=\Gamma \left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)^{n}$  der freie ${}\Gamma \left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)$-Modul mit der Basis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$. Die globalen Schnitte ${}s_{i}$ liefern Einschränkungen  ${}\left(s_{i}\right){|}_{U}\in \Gamma \left(U,{\mathcal {M}}\right)$.  Nach dem Festlegungssatz gibt es dazu einen eindeutig bestimmten ${}\Gamma \left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)$-Modulhomomorphismus

$\Gamma \left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)^{n}\longrightarrow \Gamma \left(U,{\mathcal {M}}\right),\,e_{i}\longmapsto \left(s_{i}\right){|}_{U}.$

Diese Modulhomomorphismen sind mit den Einschränkungen zu  ${}V\subseteq U$  verträglich und daher liegt ein Homomorphismus von Modulgarben vor.

Zur bewiesenen Aussage