Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitte und Modulgarbenhomomorphismus/Festlegungssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ ist ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right)}=\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}^{n}$ der freie ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$-Modul mit der Basis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$. Die globalen Schnitte ${}s_{i}$ liefern Einschränkungen ${}{\left(s_{i}\right)}{|}_{U}\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$. Nach dem Festlegungssatz gibt es dazu einen eindeutig bestimmten ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$-Modulhomomorphismus

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}^{n}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)},\,e_{i}\longmapsto {\left(s_{i}\right)}{|}_{U}.$

Diese Modulhomomorphismen sind mit den Einschränkungen zu ${}V\subseteq U$ verträglich und daher liegt ein Homomorphismus von Modulgarben vor.

Zur bewiesenen Aussage