Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt/Beweis

Beweis

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht $0$ ist, ist nach Aufgabe die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form $(n - q, q)$ . Wir müssen zeigen, dass $q = a$ ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$ , wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension $n - 1$ bewiesen und es liege ein $n$ -dimensionaler Raum mit einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

U = ⟨ v_{1}, \dots, v_{n - 1} ⟩

hat die Dimension $n - 1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form $⟨ -, - ⟩ |_{U}$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

D_{n} = det M_{n} = det G

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt $⟨ -, - ⟩ |_{U}$ den Typ $(n - 1 - b, b)$ , wobei $b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

D_{0} = 1, D_{1}, \dots, D_{n - 1}

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

b \leq q \leq b + 1,

da ein $q$ -dimensionaler Untervektorraum $W \subseteq V$ , auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

W^{'} = U \cap W \subseteq U

führt, der die Dimension $q$ oder $q - 1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ist das Vorzeichen von $D_{n - 1}$ gleich $(- 1)^{b}$ und das Vorzeichen von $D_{n}$ gleich $(- 1)^{q}$ . Das bedeutet, dass zwischen $D_{n - 1}$ und $D_{n}$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit $a = b + 1$ ) genau dann vorliegt, wenn

q = b + 1

ist.

Zur bewiesenen Aussage