Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ist, ist nach Aufgabe die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form . Wir müssen zeigen, dass ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von , wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension bewiesen und es liege ein -dimensionaler Raum mit einer Basis mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

hat die Dimension und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt den Typ , wobei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

da ein -dimensionaler Untervektorraum , auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

führt, der die Dimension oder besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ist das Vorzeichen von gleich und das Vorzeichen von gleich . Das bedeutet, dass zwischen und ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit ) genau dann vorliegt, wenn

ist.

Zur bewiesenen Aussage