Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring mittels Tetraeder/Beispiel

Zur Berechnung des Invariantenringes zur Operation der binären Oktaedergruppe ${}\operatorname {BO}$ auf ${}{\mathbb {C} }[U,V]$ benutzen wir die Normalteilerbeziehung  ${}\operatorname {BT} \subseteq \operatorname {BO}$  (mit der Restklassengruppe $\mathbb {Z} /(2)$), Fakt und Beispiel. Das Element  ${}{\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{7}\end{pmatrix}}\in \operatorname {BO} \setminus \operatorname {BT}$,  wobei ${}\xi$ eine achte primitive Einheitswurzel ist, wirkt durch ${}U\mapsto \xi U$ und ${}V\mapsto \xi ^{7}V$. Somit wird in der Darstellung

${}{\mathbb {C} }[U,V]^{\operatorname {BT} }={\mathbb {C} }[N,P,Q]/{\left(Q^{2}-P^{3}+108N^{4}\right)}\,$

das Polynom  ${}N=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}$  auf

${}UV{\left(-U^{4}+V^{4}\right)}=-N\,,$

${}P$ auf ${}P$ und ${}Q$ auf ${}-Q$ geschickt. Auf dem isomorphen Ring ${}{\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}$ ist dies einfach die Operation, die ${}Y$ auf sich und ${}X,Z$ auf ihr Negatives abbildet. Wir arbeiten mit der ${}\mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der ${}Y$ den Grad ${}0$ und ${}X,Z$ den Grad ${}1$ besitzen. Nach Fakt ist der Invariantenring gleich der neutralen Stufe in der Graduierung. Diese Stufe wird neben ${}Y$ von ${}R=XZ$ und ${}S=Z^{2}$ erzeugt (wegen ${}X^{2}=-Y^{3}-{\left(Z^{2}\right)}^{2}$ kann man auf ${}X^{2}$ verzichten). Zwischen ${}Y,R,S$ besteht die Relation

${}R^{2}+Y^{3}S+S^{3}=(XZ)^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{6}=Z^{2}{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}=0\,.$

Nach Umbenennung der Variablen ist also der Invariantenring zur binären Oktaedergruppe isomorph zu

${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+YZ^{3}\right)}.$