Binäre quadratische Form/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt

mit .

Die heißen die Koeffizienten der quadratischen Form. Wir fassen eine binäre quadratische Form als eine Abbildung

auf. Die Matrix

heißt die Gramsche Matrix zur Form . Mit ihr kann man

schreiben.


Definition  

Zu einer binären quadratischen Form

nennt man

die Diskriminante der Form.

Die Diskriminante kann man auch als der Determinante von ansehen. Wir werden diese Diskriminante bald mit der Diskriminante eines quadratischen Zahlbereiches in Verbindung bringen.


Definition  

Man sagt, dass eine ganze Zahl durch eine binäre quadratische Form

darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen mit

gibt.

Die Zahlen sind unmittelbar darstellbar. Im Allgemeinen ist es schwierig, die Mengen aller darstellbaren Zahlen zu beschreiben. Für die quadratische Form bedeutet die Darstellbarkeit, dass eine Summe von zwei Quadraten ist. Zur Beantwortung dieser Frage ist die Betrachtung der Faktorzerlegung in hilfreich.


Definition  

Eine binäre quadratische Form heißt einfach, wenn die Koeffizienten teilerfremd sind.

Wenn der größte gemeinsame Teiler von ist, so nennt man die durch

gegebene Form die Vereinfachung der ursprünglichen Form. Es handelt sich dann um eine einfache Form.

Zu einer Matrix mit ganzzahligen Einträgen und einer binären quadratischen Form erhält man durch die Hintereinanderschaltung

die neue quadratische Form . Wenn man die Variablen links mit bezeichnet, so liegt insgesamt die quadratische Form vor, die ein Tupel auf

abbildet. Die neuen Koeffizienten der transformierten Form sind also

Dies können wir auch als Matrixgleichung als

schreiben, siehe Aufgabe. Die Matrix ist über genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante gleich oder gleich ist, siehe Aufgabe. Bei einer solchen invertierbaren Transformation ändern sich wesentliche Eigenschaften der Form nicht.


Definition  

Zwei binäre quadratische Formen

heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare -Matrix mit

gibt.


Definition  

Zwei binäre quadratische Formen

heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige -Matrix mit Determinante und mit

gibt.

Die Formen und sind zueinander (über die Matrix ) äquivalent, aber im Allgemeinen nicht strikt äquivalent.



Lemma  

  1. Die Äquivalenz und die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen ist eine Äquivalenzrelation.
  2. Die Diskriminante einer binären quadratischen Form hängt nur von deren Äquivalenzklasse ab.
  3. Die dargestellen Zahlen hängen nur von der Äquivalenzklasse der Form ab.

Beweis  

  1. Diese beiden Aussagen folgen daraus, dass das Produkt invertierbarer Matrizen (über ) wieder invertierbar ist und aus dem Determinantenmultiplikationssatz.
  2. Wir arbeiten mit der Umrechnungsregel für die Koeffizienten in Matrixform, also

    Der Determinantenmultiplikationssatz liefert

  3. Dies folgt unmittelbar aus dem kommutativen Diagramm