Binomialverteilung/Gesetz der großen Zahlen/Textabschnitt

Jakob Bernoulli (1655-1705) bewies erstmals das Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie interessiert man sich häufig für asymptotische Aussagen. Dass bei einem einzelnen Münzwurf Kopf und Zahl gleichwahrscheinlich ist, ist eine plausible Definition, aber selbst noch nicht sehr aussagestark. Eine gehaltvolle Aussage wird erst dann daraus, wenn man zeigen kann, dass bei einer häufigen Wiederholung des Experimentes die Häufigkeit, wie oft Kopf fällt, sich in der Nähe von $\frac{1}{2}n$ befindet, wenn $n$ die Anzahl der Wiederholungen bezeichnet. Die relative Häufigkeit ist dann nahe bei $\frac{1}{2}$. In diesem Kontext ist es zunächst wichtig, sich klar zu machen, was eine sinnvolle Formulierung sein könnte und wie hier „in der Nähe von“ zu verstehen ist. Insbesondere muss man sich klar machen, was zu viel erwartet wäre. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf (mit $n$ gerade) genau $n/2$-oft Kopf fällt, gleich $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n/2})}{2^n}$ nach Fakt. Dies ist wahrscheinlicher als jedes andere Ergebnis für die Anzahl der Kopfwürfe. Wenn aber $n$ gegen unendlich strebt, so wird diese Wahrscheinlichkeit beliebig klein, sie konvergiert gegen $0$. Auch wenn man einen gewissen Abstand zu der Mitte $n/2$ fixiert, wie wenn man sagt, dass die Anzahl der Kopfwürfe zwischen $n/2-10$ und $n/2+10$ liegen soll, so geht die Wahrscheinlichkeit dafür gegen $0$ für $n$ gegen unendlich. Dies klingt einleuchtend, wenn man ein sehr großes $n$ betrachtet. Dass bei einer Million an Münzwürfen die Kopfanzahl im (relativ gesehen kleinen) Intervall $[499990,5000010]$ liegen soll, ist doch nicht zu erwarten. Anders sieht es aus, wenn man „in der Nähe von “ anteilig bzw. prozentual versteht. Wenn man sich Intervalle der Form

$[\frac{n}{2}-\frac{n}{10},\frac{n}{2}+\frac{n}{10}]$

anschaut, so sind dies für einige Zehnerpotenzen die Intervalle $[4,6]$, $[40,60]$, $[400,600]$, $[400000,600000]$, und unser stochastisches Gefühl sagt uns, dass die Wahrscheinlichkeiten zunehmend größer werden, dass die Anzahlen der Kopfwürfe in diesen Intervallen liegen. Diese Beobachtung wird durch das Gesetz der großen Zahlen präzisiert. Es gibt eine ganze Reihe von Aussagen unter diesem Namen, wir beschränken uns auf den Fall eines Münzwurfes. Das folgende Lemma beinhaltet die entscheidenden Abschätzungen, um das Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf zu beweisen. Zur Orientierung: Im zuletzt erwähnten Beispiel muss man  $\beta =0,1$  nehmen, es ist  $n=1000000$  und  $\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor =400000$.  Der Beweis liefert eine Abschätzung nach oben dafür, dass bei einem millionenfachen Münzwurf höchstens $400000$-mal Zahl geworfen wird.

Lemma

Es sei  $\beta \in ℝ$,   $0<\beta <\frac{1}{2}$,  fixiert und  $n\in \mathbb{N}$  gerade. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n/2})}{2^n}\to 0$ für $n\to \mathrm{\infty }$.
2. Es ist

   $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor })\le {\left({\left(\frac{1}{1+2\beta }\right)}^{\beta }\right)}^n\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}}).$

3. Es ist

   $\sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\le (\frac{n}{2}+1-\lfloor \beta n\rfloor )\cdot {\left({\left(\frac{1}{1+2\beta }\right)}^{\beta }\right)}^n\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}}).$

4. Für $n\to \mathrm{\infty }$ konvergiert der Ausdruck

   $\frac{1}{2^n}\left(\sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\right)$

   gegen $0$.

Beweis

1. Siehe Aufgabe.
2. Nach Aufgabe ist

   $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=\frac{n-k}{k+1}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).$

   Somit besteht zwischen $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{1}{2}n})$ und $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor })$ der Zusammenhang

   $\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})& =\frac{\frac{n}{2}+1}{\frac{n}{2}}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-1})\\ & =\frac{\frac{n}{2}+1}{\frac{n}{2}}\cdot \frac{\frac{n}{2}+2}{\frac{n}{2}-1}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-2})\\ & =\frac{\frac{n}{2}+1}{\frac{n}{2}}\cdot \frac{\frac{n}{2}+2}{\frac{n}{2}-1}\cdots \frac{\frac{n}{2}+\lfloor \beta n\rfloor +1}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }).\end{array}$

   Dies bedeutet umgekehrt

   $\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor })& =\frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+1}\cdot \frac{\frac{n}{2}-1}{\frac{n}{2}+2}\cdots \frac{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }{\frac{n}{2}+\lfloor \beta n\rfloor +1}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})\\ & =\frac{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor }{\frac{n}{2}+1}\cdot \frac{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor +1}{\frac{n}{2}+2}\cdots \frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+\lfloor \beta n\rfloor +1}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}}).\end{array}$

   Die Faktoren sind alle von der Form

   $\frac{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor -1+i}{\frac{n}{2}+i}$

   mit  $i=1,\dots ,\lfloor \beta n\rfloor +1$.  Sie sind alle $<1$ und für das maximale $i$, also für $\lfloor \beta n\rfloor +1$, am größten. Da es $\lfloor \beta n\rfloor +1$ viele Faktoren gibt, kann man das Produkt unter Verwendung von Fakt  (1), Fakt  (6) und Fakt  (8) durch

   $\begin{array}{cc}{\left(\frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+\lfloor \beta n\rfloor +1}\right)}^{\lfloor \beta n\rfloor +1}& \le {\left(\frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+\beta n}\right)}^{\lfloor \beta n\rfloor +1}\\ & \le {\left(\frac{\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}+\beta n}\right)}^{\beta n}\\ & ={\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\beta }\right)}^{\beta n}\\ & ={\left({\left(\frac{1}{1+2\beta }\right)}^{\beta }\right)}^n\end{array}$

   nach oben abschätzen. Also ist

   $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}-\lfloor \beta n\rfloor })\le {\left({\left(\frac{1}{1+2\beta }\right)}^{\beta }\right)}^n\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}}).$

3. Dies folgt aus (2), da die Binomialkoeffizienten in diesem Bereich wachsend sind und da es $(\frac{n}{2}+1-\lfloor \beta n\rfloor )$ Summanden gibt.
4. Nach (1) konvergiert $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n/2})}{2^n}$ gegen $0$. Nach (3) genügt es daher, zu zeigen, dass

   $(\frac{n}{2}+1-\lfloor \beta n\rfloor ){\left({\left(\frac{1}{1+2\beta }\right)}^{\beta }\right)}^n$

   gegen $0$ konvergiert. Dieser Ausdruck ist aber (beschränkt durch) von der Form

   $n\cdot {\gamma }^n$

   mit  $\gamma <1$,  also nach Fakt konvergent gegen $0$.

$◻$

Die geeignet normierte Binomialverteilung zu $\frac{1}{2}$ „konvergiert“ gegen die sogenannte Normalverteilung.

Satz

Zu jedem  $\alpha <\frac{1}{2}$ 

konvergiert die Folge

$\frac{1}{2^n}(\sum _{k=0}^{\lfloor \alpha n\rfloor }{B}_{\frac{1}{2},n}(k))$

gegen $0$.

Das bedeutet, dass die relative Häufigkeit bei einem $n$-fach wiederholten Bernoulli-Experiment zur Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ bei $n$ hinreichend groß mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall $[\alpha n,(1-\alpha )n]$ liegt.

Beweis

Wir schreiben

$\beta =\frac{1}{2}-\alpha >0.$

Somit ergibt sich die Aussage direkt aus Fakt  (4).

$◻$