Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt direkt aus der Konstruktion.
(2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung

$V^{n}\longrightarrow H\cong K^{(V^{n})}\longrightarrow H/U$

vor, wobei ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ auf ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ und dies auf die Restklasse ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums ${}U$, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.

(3) gilt nach Fakt für jede alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach Fakt für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel ${}(i_{1},\ldots ,i_{n})$ ein Eintrag wiederholt, so ist ${}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}=0$ wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form ${}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$ gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich

${}\sum _{\pi \in S_{n}}\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{\pi (1)}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{\pi (n)}}=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\,$

Zur bewiesenen Aussage