Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt/Beweis

Beweis

Die Implikation ${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.

${}(2)\Rightarrow (3)$. Es sei also ${}R$ faktoriell, und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ${}\neq 0$. Sei ${}f\in {\mathfrak {p}}$, ${}f\neq 0$, mit Primfaktorzerlegung ${}f=p_{1}\cdots p_{s}$. Da ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu ${}{\mathfrak {p}}$ gehören, sagen wir ${}p=p_{1}\in {\mathfrak {p}}$. Dann ist ${}(p)\subseteq {\mathfrak {p}}$. Das von ${}p$ erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Dedekindbereich ist nach Definition jedes von ${}0$ verschiedene Primideal maximal, sodass hier ${}(p)={\mathfrak {p}}$ gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Fakt ${}\operatorname {div} {\left(p\right)}=1{\mathfrak {p}}$, sodass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt

${}\operatorname {Div} {\left(R\right)}=H\,$

und die Divisorenklassengruppe ist trivial.

${}(3)\Rightarrow (1)$. Es sei nun ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$ vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ${}{\mathfrak {p}}$ ein Hauptdivisor, sodass ${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {div} (p)$ mit einem ${}p\in R$ gilt. Aufgrund von Fakt entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung ${}{\mathfrak {p}}=(p)$, sodass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$, ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$, ist nach Fakt

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dies bedeutet aber, mit ${}{\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal ist, das von ${}{p}_{1}^{r_{1}}\cdots {p}_{k}^{r_{k}}$ erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.

Zur bewiesenen Aussage