Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Wirkung auf Faser/Zerlegungsgruppe/Aufgabe

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ , sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$ mit der Faser ${}\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}$ . Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,({\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k})

gibt, und dass dessen Kern gleich ${}\bigcap _{j=1}^{k}G_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ ist.