Der Banachsche Fixpunktsatz/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl gibt mit

für alle .

Die Zahl nennt man einen Kontraktionsfaktor.



Satz  

Es sei ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

eine

stark kontrahierende Abbildung.

Dann besitzt genau einen Fixpunkt.

Beweis  

Es sei , , ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte

für alle . Wenn Fixpunkte sind, so folgt aus

sofort und somit , es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Sei nun ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch

rekursiv definierte Folge in . Wir setzen . Dann gilt für jedes die Beziehung

Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für die Beziehung

Zu einem gegebenen wählt man mit . Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge konvergiert gegen , da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert sein muss.