Es sei
f
:
L
⟶
M
,
x
⟼
f
(
x
)
,
{\displaystyle f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),}
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
L
{\displaystyle {}L}
M
{\displaystyle {}M}
f
{\displaystyle {}f}
stark kontrahierend , wenn es eine nichtnegative
reelle Zahl
c
<
1
{\displaystyle {}c<1}
d
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≤
c
⋅
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,}
für alle
x
,
y
∈
L
{\displaystyle {}x,y\in L}
Die Zahl
c
{\displaystyle {}c}
Kontraktionsfaktor .
Es sei
c
∈
R
{\displaystyle {}c\in \mathbb {R} }
0
≤
c
<
1
{\displaystyle {}0\leq c<1}
d
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≤
c
⋅
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,}
für alle
x
,
y
∈
M
{\displaystyle {}x,y\in M}
x
,
y
∈
M
{\displaystyle {}x,y\in M}
d
(
x
,
y
)
=
d
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≤
c
⋅
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}d(x,y)=d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)\,}
sofort
d
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle {}d(x,y)=0}
x
=
y
{\displaystyle {}x=y}
x
∈
M
{\displaystyle {}x\in M}
x
0
=
x
und
x
n
:=
f
n
(
x
)
:=
f
(
x
n
−
1
)
{\displaystyle x_{0}=x{\text{ und }}x_{n}:=f^{n}(x):=f(x_{n-1})}
rekursiv definierte
Folge
in
M
{\displaystyle {}M}
a
=
d
(
f
(
x
)
,
x
)
.
{\displaystyle {}a=d{\left(f(x),x\right)}\,.}
Dann gilt für jedes
n
∈
N
{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }
d
(
f
n
+
1
(
x
)
,
f
n
(
x
)
)
≤
c
⋅
d
(
f
n
(
x
)
,
f
n
−
1
(
x
)
)
≤
c
n
⋅
d
(
f
(
x
)
,
x
)
=
c
n
a
.
{\displaystyle {}d{\left(f^{n+1}(x),f^{n}(x)\right)}\leq c\cdot d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}\leq c^{n}\cdot d{\left(f(x),x\right)}=c^{n}a\,.}
Daher gilt aufgrund der
Dreiecksungleichung
und der
geometrischen Reihe
für
n
≥
m
{\displaystyle {}n\geq m}
d
(
f
n
(
x
)
,
f
m
(
x
)
)
≤
d
(
f
n
(
x
)
,
f
n
−
1
(
x
)
)
+
d
(
f
n
−
1
(
x
)
,
f
n
−
2
(
x
)
)
+
⋯
+
d
(
f
m
+
1
(
x
)
,
f
m
(
x
)
)
≤
a
(
c
n
−
1
+
c
n
−
2
+
⋯
+
c
m
+
1
+
c
m
)
=
a
c
m
(
c
n
−
m
−
1
+
c
n
−
m
−
2
+
⋯
+
c
2
+
c
1
+
1
)
≤
c
m
a
1
1
−
c
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(f^{n}(x),f^{m}(x)\right)}&\leq d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}+d{\left(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x)\right)}+\cdots +d{\left(f^{m+1}(x),f^{m}(x)\right)}\\&\leq a\left(c^{n-1}+c^{n-2}+\cdots +c^{m+1}+c^{m}\right)\\&=ac^{m}\left(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\cdots +c^{2}+c^{1}+1\right)\\&\leq c^{m}a{\frac {1}{1-c}}.\,\end{aligned}}}
Zu einem gegebenen
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
n
0
{\displaystyle {}n_{0}}
c
n
0
a
1
1
−
c
≤
ϵ
.
{\displaystyle {}c^{n_{0}}a{\frac {1}{1-c}}\leq \epsilon \,.}
Dies zeigt, dass eine
Cauchy-Folge
vorliegt, die aufgrund der
Vollständigkeit
gegen ein
y
∈
M
{\displaystyle {}y\in M}
konvergiert .
y
{\displaystyle {}y}
(
f
(
x
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
f
(
y
)
{\displaystyle {}f(y)}
y
{\displaystyle {}y}
◻
{\displaystyle \Box }
