Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Beweis

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Beweis

Wenn nicht invertierbar ist, so ist nach Fakt die Determinante und der Rang kleiner als . Dies gilt auch für die transponierte Matrix, so dass deren Determinante wiederum ist. Sei also invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe Aufgabe. Es gibt nach Fakt Elementarmatrizen derart, dass

eine Diagonalmatrix ist. Nach Aufgabe ist

bzw.

Die Diagonalmatrix ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt