Wenn
nicht invertierbar ist, so ist nach
Fakt
die Determinante
und der Rang kleiner als
. Dies gilt auch für die transponierte Matrix, so dass deren Determinante wiederum
ist. Es sei also
invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe
Aufgabe.
Es gibt nach
Fakt
Elementarmatrizen
derart, dass
-

eine
Diagonalmatrix
ist. Nach
Aufgabe
ist
-

bzw.
-

Die Diagonalmatrix
ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt
