Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}M$ nicht invertierbar ist, so ist nach Fakt die Determinante ${}0$ und der Rang kleiner als ${}n$. Dies gilt auch für die transponierte Matrix, sodass deren Determinante wiederum ${}0$ ist. Es sei also ${}M$ invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe Aufgabe. Es gibt nach Fakt Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{s}$ derart, dass

${}D=E_{s}{\cdots }E_{1}M\,$

eine Diagonalmatrix ist. Nach Aufgabe ist

${}{D^{\text{tr}}}={M^{\text{tr}}}{E_{1}^{\text{tr}}}{\cdots }{E_{s}^{\text{tr}}}\,$

bzw.

${}{M^{\text{tr}}}={D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\,.$

Die Diagonalmatrix ${}D$ ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt, unter Verwendung von Fakt,

${}{\begin{aligned}\det {M^{\text{tr}}}&=\det \left({D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\right)\\&=\det {D^{\text{tr}}}\cdot \det({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }\det({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\\&=\det D\cdot \det \left(E_{s}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{1}^{-1}\right)\\&=\det \left(E_{1}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{s}^{-1}\right)\cdot \det D\cdot \\&=\det \left(E_{1}^{-1}{\cdots }E_{s}^{-1}\cdot D\right)\\&=\det M.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage