Die Fakultätsfunktion/Komplex/Textabschnitt

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Das uneigentliche Integral

existiert für mit Realteil . Dies ist der Ausgangspunkt der Fakultätsfunktion.


Definition  

Für , , heißt die Funktion

die Fakultätsfunktion.

Die durch

definierte Funktion heißt Gammafunktion, mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät noch deutlicher, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird.

Factorial plot.png




Satz  

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

  1. für .
  2. .
  3. für natürliche Zahlen .
  4. .

Beweis  

(1) Mittels partieller Integration ergibt sich


(2). Es ist


(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.
(4). Es ist

Dies ergibt sich mit der Substitution und dem sogenannten Fehlerintegral.