Das uneigentliche Integral
∫
0
∞
t
x
e
−
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt}
existiert für
x
∈
C
{\displaystyle {}x\in {\mathbb {C} }}
Re
(
x
)
>
−
1
{\displaystyle {}\operatorname {Re} \,{\left(x\right)}>-1}
Für
x
∈
C
{\displaystyle {}x\in {\mathbb {C} }}
Re
(
x
)
≥
−
1
{\displaystyle {}\operatorname {Re} \,{\left(x\right)}\geq -1}
Funktion
x
⟼
Fak
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
e
−
t
d
t
{\displaystyle x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt}
die Fakultätsfunktion .
Die durch
Γ
(
x
)
:=
Fak
x
−
1
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle {}\Gamma (x):=\operatorname {Fak} \,x-1=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\,}
definierte Funktion heißt Gammafunktion , mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät noch deutlicher, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird.
(1) Mittels
partieller Integration
ergibt sich
Fak
x
=
∫
0
∞
t
x
e
−
t
d
t
=
−
t
x
e
−
t
|
0
∞
+
∫
0
∞
x
t
x
−
1
e
−
t
d
t
=
x
⋅
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
=
x
Fak
x
−
1.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {Fak} \,x&=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&=-t^{x}e^{-t}|_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\cdot \int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\operatorname {Fak} \,x-1.\end{aligned}}}
(2). Es ist
Fak
0
=
∫
0
∞
e
−
t
d
t
=
−
e
−
t
|
0
∞
=
1
.
{\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,0=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.}
(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.
Fak
−
1
2
=
∫
0
∞
t
−
1
2
e
−
t
d
t
=
2
∫
0
∞
e
−
s
2
d
s
=
∫
−
∞
∞
e
−
s
2
d
s
=
π
.
{\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,-{\frac {1}{2}}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.}
Dies ergibt sich mit der Substitution
t
=
s
2
{\displaystyle {}t=s^{2}}
Fehlerintegral .
◻
{\displaystyle \Box }
