Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt die Abbildung

   $I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto \pi _{P}(\gamma ^{\prime \prime }(t)),$

   wobei ${}\pi _{P}$ die orthogonale Projektion

   $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$

   bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) von ${}\gamma$.

2. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt zusammenhängend, wenn es in ${}X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich ${}\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
3. Unter der Tangentialabbildung im Punkt ${}P$ versteht man die Abbildung

   $T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ].$

4. Es seien ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von ${}M$ und ${}N$. Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ versehen mit den Karten

   $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$

   (mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

5. Für eine Borelmenge ${}T\subseteq M$ wird das Maß von ${}T$ zu ${}\omega$ über eine abzählbare Zerlegung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei ${}T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und ${}\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist)

   ${}\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$

   definiert.

6. Man nennt eine differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon I\longrightarrow M$

   eine geodätische Kurve, wenn

   ${}\nabla _{d/dt}\gamma '=0\,$

   auf ${}I$ ist.

Zur gelösten Aufgabe