Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R\subseteq S=R\oplus U$ ein direkter Summand von ${}K$-Algebren.

Dann definiert jeder Differentialoperator ${}E\colon S\rightarrow S$ der Ordnung ${}\leq n$ über

$R\longrightarrow S{\stackrel {E}{\longrightarrow }}S{\stackrel {\rho }{\longrightarrow }}R$

einen Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$ auf ${}R$, wobei ${}\rho$ die Projektion längs ${}U$ bezeichnet.

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei ${}n=0$ ist der Operator ${}E$ die Multiplikation mit einem Element ${}s=r+u\in S$, das auf ${}R$ die Abbildung ${}t\mapsto rt+ru\mapsto rt$ induziert, was die Multiplikation mit ${}r$ ist.

Es sei nun ${}E$ ein Differentialoperator auf ${}S$ der Ordnung ${}\leq m$. Die Einschränkung sei mit ${}E'$ bezeichnet. Es sei ${}r\in R$. Dann ist für ${}t\in R$ einerseits

${}[E',r](t)=(E'\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E')(t)=E'(rt)-rE'(t)=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,$

und andererseits

${}[E,r]'(t)=\rho ((E\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E)(t))=\rho (E(rt)-rE(t))=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,,$

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass ${}\rho$ ${}R$-linear ist. Daher ist die Lie-Klammer von ${}E'$ mit der Multiplikation mit ${}r$ die Einschränkung der Lie-Klammer, also nach der Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq m-1$.

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Korollar

Es sei ${}R$ ein direkter Summand eines Polynomrings ${}P$.

Dann gibt es für jedes ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, einen Differentialoperator ${}E\colon R\rightarrow R$ mit ${}E(f)=1$.

Beweis

Sei ${}f\in R\subseteq P$. Dann gibt es einen Differentialoperator ${}E\colon P\rightarrow P$ mit ${}E(f)=1$. Die Einschränkung ${}E'$ ist dann nach Fakt ein Differentialoperator auf ${}R$ mit der gewünschten Eigenschaft, da ${}\rho (1)=1$.

$\Box$