Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Textabschnitt

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Wir bezeichnen zu einem Monom mit

diesen Differentialoperator auf dem Polynomring . Der Ausdruck

ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form , wobei eine Komponente von negativ ist, ist als zu interpretieren.



Lemma  

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann ist

mit

und

Beweis  

Wir arbeiten mit der Beschreibung

wobei aus entsteht, indem man durch ersetzt. Wir setzen

an und schreiben den Ring als

wobei

ist. Betrachte ein Monom aus einem . In die Gleichung geht dies in der Form

ein. Ausmultiplizieren ergibt

Auf das Monom in bezieht sich also der Term

Dies stimmt mit

überein.



Definition  

Es seien Polynome. Zu sei und . Dann nennt man die -Matrix mit Einträgen

die -te Jacobi-Taylor-Matrix.

Diese Matrizen bezeichnen wir mit . Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist.

In drei Variablen und einer Gleichung sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus (über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch ).



Korollar  

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann besitzt der Modul der Hauptteile eine Darstellung (eine exakte Sequenz von -Moduln)

wobei die transponierte -te Jacobi-Taylor-Matrix ist.

Beweis  

Aufgrund von Fakt ist

Insbesondere bilden die Monome , , ein -Modul-Erzeugendensystem von und es gibt eine surjektive Abbildung

Derjenige Teil des von den erzeugten Ideals, das einen Grad besitzt, wird als -Modul von allen

erzeugt. Somit wird der Kern der Abbildung durch alle -Tupel

erzeugt, wobei als zu interpretieren is, falls eine Komponente negativ wird. Der Kern ist also das Bild der Abbildung

Der Eintrag der beschreibenden Matrix zum Zeilenindex und zum Spaltenindex ist

nach Fakt. Dies ist die transponierte Matrix zur Jacobi-Taylor-Matrix.




Korollar  

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann entsprechen die Differentialoperator der Ordnung auf den Elementen des Kernes der -ten Jacobi-Taylor-Matrix.

Beweis  

Wir arbeiten mit der exakten Sequenz

aus Fakt, wobei die -te Jacobi-Taylor-Matrix bezeichnet. Ein Differentialoperator auf ist das gleiche wie eine -Linearform auf . Dies wiederum ist das gleiche wie eine -Linearform auf (also einfach ein -Tupel ), die die Eigenschaft erfüllt. Dies ist äquivalent zu .




Korollar  

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann wird ein durch ein -Tupel im Sinne von Fakt gegebener Differentialoperator auf auf dem Polynomring durch

repräsentiert.

Beweis  

Der universelle Operator sendet ein Monom auf

Die Verknüpfung mit der durch gegebenen Linearform auf ergibt somit

Dies stimmt mit

überein.


Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form