Differentialoperatoren/Restklassenring/Textabschnitt

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Lemma  

Sei eine kommutative -Algebra und ein Ideal mit Restklassenring

Dann induziert ein Differentialoperator der Ordnung einen Differentialoperator auf der Ordnung , wenn

ist.

Beweis  

Der Operator induziert unter der gegebenen Voraussetzung eine -lineare Abbildung , die wir als Differentialoperator nachweisen müssen. Dies geschieht durch Induktion über die Ordnung des Operators auf . Für Ordnung liegt Multiplikation mit einem Element vor. Die Bedingung ist automatisch erfüllt. Dies induziert auf dem Restklassenring die Multiplikation mit , ist also wieder ein Differentialoperator der Ordnung . Es sei nun die Aussage für ein und jeden Differentialoperator auf der Ordnung bereits bewiesen. Es sei ein Differentialoperator auf der Ordnung . Zu ist

und

somit erfüllt auch der Kommutator die Voraussetzung. Dabei ist

und somit ist nach Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung auf , also ist ein Differentialoperator der Ordnung auf .