Differenzierbare Hyperfläche/Geodätische Kurve/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Eine (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

heißt Geodätische (oder geodätische Kurve auf ${}Y$), wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich ${}0$ ist.

Eine zweifach differenzierbare Kurve ist genau dann eine Geodätische, wenn ihre zweite Ableitung stets orthogonal zum Tangentialraum ist. Die zugrunde liegende physikalische Idee ist die Bewegung eines Teilchens, das sich beschleunigungsfrei auf ${}Y$ bewegt. Es gibt zwar im Allgemeinen Zwangsbedingungen, die die Bewegung auf ${}Y$ erzwingen wie Gravitation oder magnetische Anziehung, die wiederum eine Beschleunigung im umgebenden Raum erfordern, auf ${}Y$ selbst gibt es aber keine Beschleunigung. Eine geodätische Kurve beschreibt also die natürliche unbeschleunigte Bewegung auf einer differenzierbaren Hyperfläche.

Definition

Der Durchschnitt einer Kugeloberfläche ${}S$ mit einer durch den Kugelmittelpunkt verlaufenden Ebene heißt ein Großkreis auf ${}S$.

Auf der Erdkugel sind der Äquator und die Längenkreise Großkreise, die Breitenkreise im Allgemeinen nicht.

Beispiel

Wir befinden uns auf der Einheitskugel

${}Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

In ${}P\in Y$ befindet sich ein Teilchen, das einen Bewegungsimpuls in eine bestimmte tangentiale Richtung ${}v\in T_{P}Y$ erhält. Es bewegt sich also in diese Richtung (ungebremst und unbeschleunigt) weiter, wobei es allerdings immer auf der Kugel bleiben muss (wegen der Erdanziehung bzw. wegen dem festen Boden). Der Punkt sei durch ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ gegeben und der dazu senkrechte Tangentialvektor, der den momentanen Impuls beschreibt, durch

${}{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}\,,$

wobei ${}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$ ein zum Ortsvektor senkrechter Vektor mit Norm ${}1$ sei. Die Bewegung findet auf der durch diese beiden Vektoren bestimmten Ebene und auf der Sphäre statt. Eine parametrisierte Beschreibung ist

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \cos \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+\sin \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}.$

Es ist ${}\gamma (0)={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ und ${}\gamma '(t)=-a\sin \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+a\cos \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$, also ${}\gamma '(0)=a{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$.

Beispiel

Wir betrachten den Zylindermantel

${}Z={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Geometrisch ergeben sich die folgenden Bewegungen auf dem Zylinder, bei denen die Beschleunigung stets orthogonal zum Tangentialraum ist. Der Tangentialraum im Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ ist durch ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gegeben, dazu senkrecht ist ${}-{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$. Bei den folgenden Bewegungen kann man die Skalierung affin-linear abändern.

1. Bewegung auf einer Geraden auf dem Zylindermantel parallel zur inneren Achse:

   ${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\t\end{pmatrix}}\,$

   mit ${}x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1$. Die erste Ableitung ist ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist ${}0$.

2. Eine Kreisbewegung, gegeben durch

   ${}\delta (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\c\end{pmatrix}}\,.$

   Die erste Ableitung ist ${}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist ${}-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}$.

3. 

   Eine Schraubenlinie (Helix) gegeben durch

   ${}\epsilon (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\et\end{pmatrix}}\,$

   mit ${}e\neq 0$. Die erste Ableitung ist ${}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\e\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist ${}-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}$.