Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierter Zusammenhang/Bemerkung

Es sei

$f:{ℝ}^n⟶ℝ$

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  $Y=f^{-1}(0)$  die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels $TTY$ aus Bemerkung und an die Bündelhomomorphismen aus Bemerkung an. Durch die orthogonale Projektion ${ℝ}^n\to T_{P}Y$ erhält man die vertikale Projektion

$TTY⟶V=p^{\ast }TY,(P,u,v,w)⟼(P,u,{\pi }_P(w)),$

auf das Vertikalbündel. Durch die orthogonale Projektion gehört ${\pi }_P(w)$ zum Tangentialraum an $Y$, wenn man mit einem Vektor  $(P,u,w)\in V$  startet, so ist in $(P,u,0,w)$ das hintere $w$ automatisch im Tangentialraum, die orthogonale Projektion bildet solche Elemente also auf $(P,u,w)$ zurück ab. Es ergibt sich also ein Zusammenhang auf $TY$.