Differenzierbare Kurve/R/Total differenzierbar/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt $t$ bedeutet nach Definition die Existenz des Limes

${\lim }_{h\to 0}\frac{\gamma (t+h)-\gamma (t)}{h}.$

Diese Existenz ist (entsprechend Fakt) dazu äquivalent, dass man

$\gamma (t+h)=\gamma (t)+hw+h\cdot r(h)$

mit einem Vektor  $w\in W$  und einer in $0$ stetigen Abbildung $r$ mit  $r(0)=0$  schreiben kann (wobei $w={\gamma }^{\prime }(t)$ sein muss). Dabei kann man hinten $h$ durch $|h|$ ersetzen (wobei man auch $r(h)$ abwandeln muss). Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der totalen Differenzierbarkeit, und zwar ist die lineare Abbildung durch

$ℝ⟶W,h⟼hw,$

gegeben. Somit ist

${\gamma }^{\prime }(t)=w={\left(D\gamma \right)}_t(1).$

Zur gelösten Aufgabe