Differenzierbare Kurve/R/Total differenzierbar/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt bedeutet nach Definition die Existenz des Limes

Diese Existenz ist (entsprechend Fakt) dazu äquivalent, dass man

mit einem Vektor und einer in stetigen Abbildung mir schreiben kann (wobei sein muss). Dabei kann man hinten durch ersetzen (wobei man auch abwandeln muss). Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der totalen Differenzierbarkeit, und zwar ist die lineare Abbildung durch

gegeben. Somit ist