Differenzierbare Kurven/Mittelwertabschätzung/Textabschnitt

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Satz  

Es sei ein euklidischer Vektorraum und

eine differenzierbare Kurve.

Dann gibt es ein mit

Beweis  

Wenn ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Sei also . Dann ist nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von . Es seien die Komponentenfunktionen von bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion an. Es gibt also ein mit der Eigenschaft

und damit auch

Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt



Beispiel  

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

Diese Abbildung ist für jedes differenzierbar mit der Ableitung

Die Norm dieser Ableitung ist zu jedem Zeitpunkt gleich

Wählen wir das Intervall , so ist

Dies bedeutet, dass in der Mittelwertabschätzung nicht Gleichheit gelten kann.