Differenzierbare Kurven/Mittelwertabschätzung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon [a,b]\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$

eine differenzierbare Kurve.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$

Beweis

Wenn ${}f(a)=f(b)$ ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also ${}f(a)\neq f(b)$. Dann ist ${}u_{1}={\frac {f(b)-f(a)}{\Vert {f(b)-f(a)}\Vert }}$ nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von ${}V$. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}f$ bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion ${}f_{1}$ an. Es gibt also ein ${}c\in {]a,b[}$ mit der Eigenschaft

${}f_{1}(b)-f_{1}(a)=(b-a)\cdot f_{1}'(c)\,$

und damit auch

${}\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert =\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \,.$

Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt

${}{\begin{aligned}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert &=\Vert {(f_{1}(b)-f_{1}(a))u_{1}}\Vert \\&=\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert \\&=\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \\&\leq \vert {b-a}\vert \cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}'(c)\right)}^{2}}}\\&=\vert {b-a}\vert \cdot \Vert {f'(c)}\Vert .\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t).$

Diese Abbildung ist für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ differenzierbar mit der Ableitung

${}f'(t)=(-\sin t,\cos t)\,.$

Die Norm dieser Ableitung ist zu jedem Zeitpunkt gleich

${}\Vert {f'(t)}\Vert ={\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}=1\,.$

Wählen wir das Intervall ${}[0,2\pi ]$, so ist

${}f(0)=(1,0)=f(2\pi )\,.$

Dies bedeutet, dass in der Mittelwertabschätzung nicht Gleichheit gelten kann.