Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Karte/Tangentialbündel/Naheliegende Topologie/Beispiel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Karte mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Dann induziert die Karte eine natürliche Bijektion

$T{\left(\alpha ^{-1}\right)}\colon TV=V\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow TU,\,(Q,v)\longmapsto {\left(\alpha ^{-1}(Q),[s\mapsto \alpha ^{-1}(Q+sv)]\right)}.$

Dabei bewegt sich ${}s\in I$ in einem reellen Intervall derart, dass ${}Q+sv\in V$ ist (vergleiche Fakt). Da ${}V\times \mathbb {R} ^{n}$ ein Produkt von topologischen Räumen ist, ist ${}TV=V\times \mathbb {R} ^{n}$ selbst ein topologischer Raum, und es liegt nahe, diese Topologie auf ${}TU$ zu übertragen und daraus insgesamt eine Topologie auf dem Tangentialbündel ${}TM$ zu konstruieren.