Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Rang 1/Satz von Frobenius/Aufgabe/Lösung

Wir können von der lokalen Situation ausgehen, dass auf dem trivialen Vektorbündel

$U\times \mathbb {R} \longrightarrow U$

ein Zusammenhang vorliegt, wobei wir ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ als sternförmig annehmen können. Der Zusammenhang wird durch die Christoffelsymbole ${}\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}$ beschrieben. Da der Zusammenhang als krümmungsfrei vorausgesetzt wird, gilt nach Fakt, dass die ${}1$-Differentialform ${}\sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i}dx_{i}$ geschlossen ist. Nach Aufgabe bedeutet dies, dass das zugehörige Vektorfeld

$\left(\Gamma _{1},\,\ldots ,\,\Gamma _{n}\right)\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Dies bedeutet nach Fakt, dass auf der sternförmigen offenen Menge ${}U$ ein Gradientenfeld vorliegt. Es gibt also eine stetig differenzierbare Funktion

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}\Gamma _{i}=\partial _{i}f\,$

für alle ${}i$. Wir setzen

${}g=e^{f}\,$

und fassen ${}g$ als einen Schnitt im trivialen Bündel ${}U\times \mathbb {R}$ auf. Dabei ist nach Fakt

${}\nabla _{\partial _{i}}g=g\Gamma _{i}-\partial _{i}g=e^{f}\Gamma _{i}-\partial _{i}e^{f}=e^{f}\Gamma _{i}-e^{f}\partial _{i}f=0\,,$

d.h. dass ${}g$ ein nullstellenfreier horizontaler Schnitt

ist, der ${}\nabla$ als lokal integrabel erweist.

Zur gelösten Aufgabe