Reelles Vektorbündel/Rang 1/Offene Menge/Krümmungsoperator/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel ${}U\times \mathbb {R}$ vom Rang ${}1$ mit den Christoffelsymbolen ${}\Gamma _{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann gelten folgende Aussagen für den Krümmungsoperator zu den Standardvektorfeldern ${}\partial _{i}$.

1. Es ist

   ${}R(\partial _{i},\partial _{j})=\partial _{i}\Gamma _{j}-\partial _{j}\Gamma _{i}\,.$

2. Genau dann ist ${}R(\partial _{i},\partial _{j})=0$ für alle ${}i,j$, wenn die ${}1$-Differentialform ${}\sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i}dx_{i}$ geschlossen ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen