Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz ${}(1)\Leftrightarrow (2)$ folgt aus der Definition der Multiplizität. Die Äquivalenz ${}(3)\Leftrightarrow (4)$ wurde in Fakt bewiesen. Die Implikation ${}(1)\Rightarrow (3)$ wurde in Fakt bewiesen. Es bleibt also ${}(3)\Rightarrow (2)$ zu zeigen, wobei wir unter Verwendung von Fakt mit der Hilbert-Samuel Multiplizität arbeiten können. Es genügt also zu zeigen, dass für einen lokalen Ring einer ebenen algebraischen Kurve, der ein diskreter Bewertungsring ist, die Restklassenmoduln ${}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong {\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n}{\mathfrak {m}}$ alle eindimensional über dem Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}\cong K$ sind. Dies folgt aber wegen ${}{\mathfrak {m}}^{n}=(\pi ^{n})$ direkt aus dem Lemma von Nakayama.

Zur bewiesenen Aussage