Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz $(1)\iff (2)$ folgt aus der Definition der Multiplizität. Die Äquivalenz $(3)\iff (4)$ wurde in Fakt bewiesen. Die Implikation $(1)\Rightarrow (3)$ wurde in Fakt bewiesen. Es bleibt also $(3)\Rightarrow (2)$ zu zeigen, wobei wir unter Verwendung von Fakt mit der Hilbert-Samuel Multiplizität arbeiten können. Es genügt also zu zeigen, dass für einen lokalen Ring einer ebenen algebraischen Kurve, der ein diskreter Bewertungsring ist, die Restklassenmoduln  ${𝔪}^n/{𝔪}^{n+1}\cong {𝔪}^n/{𝔪}^n𝔪$  alle eindimensional über dem Restklassenkörper  $R/𝔪\cong K$  sind. Dies folgt aber wegen  ${𝔪}^n=({\pi }^n)$  direkt aus dem Lemma von Nakayama.

Zur bewiesenen Aussage