Ebene kubische Kurven/Projektiv/Legendresche Normalform/Textabschnitt

Definition

Man sagt, dass eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform vorliegt, wenn sie durch eine Gleichung der Form

${}y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,$

mit ${}\lambda \in K\setminus \{0,1\}$ beschrieben wird.

Es ist

${}X(X-1)(X-\lambda )=X^{3}-(\lambda +1)X^{2}+\lambda X\,.$

Wenn man aus der Legendreschen Normalform die Weierstraßsche Normalform erhalten möchte, so muss man hier den quadratischen Term eliminieren. Wenn Weierstraßsche Normalform vorliegt, so muss das Polynom ${}X^{3}+aX+b$ im Allgemeinen keine Faktorzerlegung in Linearfaktoren besitzen. Nach einer endlichen Erweiterung des Körpers und erst recht über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist aber eine solche Zerlegung möglich. Durch Verschieben und Strecken kann man dann erreichen, dass ${}0$ und ${}1$ Nullstellen sind, die dritte Nullstelle kann alles sein und man hat im Allgemeinen keine Optimierungsmöglichkeiten mehr.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$ und es liege eine elliptische Kurve ${}E$ über ${}K$ in Legendrescher Normalform

${}y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,$

vor. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Eine kurze Weierstraßgleichung von ${}E$ ist durch

   ${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

   mit

   ${}a={\frac {-\lambda ^{2}+\lambda -1}{3}}\,$

   und

   ${}b={\frac {-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda -2}{27}}\,$

   gegeben.

2. Die Diskriminante von ${}E$ ist

   ${}\Delta (E)=2^{4}\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}\,.$

3. Die ${}j$-Invariante von ${}E$ ist

   ${}j(E)=2^{8}{\frac {(\lambda ^{2}-\lambda +1)^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}\,.$

Beweis

1. Es ist

   ${}X(X-1)(X-\lambda )=X^{3}-(\lambda +1)X^{2}+\lambda X\,.$

   Mit dem Ansatz

   ${}X=W+{\frac {\lambda +1}{3}}\,$

   ist dies gleich

   ${}{\begin{aligned}X^{3}-(\lambda +1)X^{2}+\lambda X&={\left(W+{\frac {\lambda +1}{3}}\right)}^{3}-(\lambda +1){\left(W+{\frac {\lambda +1}{3}}\right)}^{2}+\lambda {\left(W+{\frac {\lambda +1}{3}}\right)}\\&=W^{3}+{\frac {(\lambda +1)^{2}-2(\lambda +1)(\lambda +1)+3\lambda }{3}}W+\left({\frac {\lambda +1}{3}}\right)^{3}-(\lambda +1)\left({\frac {\lambda +1}{3}}\right)^{2}+\lambda \left({\frac {\lambda +1}{3}}\right)\\&=W^{3}+{\frac {-(\lambda +1)^{2}+3\lambda }{3}}W-2{\frac {(\lambda +1)^{3}}{27}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{3}}\\&=W^{3}+{\frac {-\lambda ^{2}+\lambda -1}{3}}W+{\frac {-2(\lambda +1)^{3}+9\lambda (\lambda +1)}{27}}\\&=W^{3}+{\frac {-\lambda ^{2}+\lambda -1}{3}}W+{\frac {-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda -2}{27}}.\,\end{aligned}}$

2. Eine längere Rechnung (siehe Aufgabe und Aufgabe) zeigt

   ${}{\begin{aligned}4a^{3}+27b^{2}&={\frac {4(-\lambda ^{2}+\lambda -1)^{3}+(-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda -2)^{2}}{27}}\\&={\frac {-27\lambda ^{4}+54\lambda ^{3}-27\lambda ^{2}}{27}}\\&=-\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}.\end{aligned}}$

3. Es ist

   ${}j(E)=-{\frac {12^{3}(4a)^{3}}{\Delta }}=-{\frac {4^{3}\cdot 4^{3}{\left(-\lambda ^{2}+\lambda -1\right)}^{3}}{2^{4}\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}=-2^{8}{\frac {{\left(-\lambda ^{2}+\lambda -1\right)}^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}=2^{8}{\frac {{\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)}^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}\,.$

$\Box$

Die dritte Nullstelle, also das ${}\lambda$ in der Legendreschen Normalform, ist durch die elliptische Kurve nicht eindeutig bestimmt. Stattdessen kann man auch

$1-\lambda ,\,{\frac {1}{\lambda }},\,{\frac {1}{1-\lambda }},\,{\frac {\lambda -1}{\lambda }},\,{\frac {\lambda }{\lambda -1}}$

nehmen.