Eigentheorie/Endomorphismus/Textabschnitt
Es sei
ein Endomorphismus auf dem -Vektorraum und es sei
ein Isomorphismus von -Vektorräumen. Es sei
- Ein Vektor ist genau dann Eigenvektor zu zum Eigenwert , wenn ein Eigenvektor zu zum Eigenwert ist.
- und besitzen die gleichen Eigenwerte.
- Die Abbildung induziert für jedes
einen Isomorphismus
(1). Es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Sei
Dann ist
Die Umkehrung gilt genauso. (2) und (3) folgen direkt aus (1).
Wenn ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum vorliegt, der bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben wird, so entsprechen sich Eigenwerte und Eigenvektoren. Das Eigenvektortupel der Matrix ist das Koordinatentupel des entsprechenden Eigenvektors bezüglich der Basis. Die Eigenwerte hängen nicht von der gewählten Basis ab, die Eigentupel schon.
Es sei ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum und es sei eine Basis von . Es sei die beschreibende Matrix zu bezüglich dieser Basis.
Dann ist genau dann ein Eigenvektor zu zum Eigenwert , wenn das Koordinatentupel zu bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu zum Eigenwert ist.
Insbesondere besitzen und die gleichen Eigenwerte.
Dies folgt direkt aus Fakt (1) unter Verwendung des Diagramms
Es sei eine -Matrix über einem Körper und es sei eine invertierbare -Matrix. Es sei .
Dann ist ein -Tupel genau dann ein Eigenvektor von zum Eigenwert , wenn
ein Eigenvektor zur Matrix zum Eigenwert ist. Insbesondere besitzen und die gleichen Eigenwerte.
Dies folgt aus Fakt.