Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 3 3 3 0 4 4 6 4 0 0 0 6 0 41



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein irreduzibles Element in einen kommutativen Ring .
  2. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring .
  3. Die erste Tschebyschow-Funktion.
  4. Eine algebraische Zahl .
  5. Ein ganzes Element bei einer Ringerweiterung .
  6. Das gebrochene Ideal zu einem Divisor in einem Zahlbereich .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
  2. Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung .
  3. Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es seien positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

  1. Zeige, dass bei teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
  2. Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.


Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper das Produkt aller von verschiedener Elemente aus gleich ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde die kleinste Zahl derart, dass zugleich das reguläre -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass eine Summe von zwei Quadraten ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

eine quadratische Körpererweiterung und es sei

eine -lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass die Multiplikation mit einem Element aus oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring mit der Ordnungsfunktion ein euklidischer Bereich ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe


Aufgabe (0 Punkte)