Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 3 4 6 4 6 0 4 2 0 0 0 4 7 48



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe .
  2. Eine Fermatsche Primzahl.
  3. Eine -Algebra , wobei einen kommutativen Ring bezeichnet.
  4. Die Diskriminante zu Elementen bei einer endlichen Körpererweiterung vom Grad .
  5. Ein Dedekindbereich.
  6. Ein effektiver Divisor in einem Zahlbereich .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Quadratcharakterisierung von für Restklassenkörper von .
  2. Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
  3. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei . Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im -System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob eine Primzahl ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen und durch Induktion über das Maximum von und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol



Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms in .

b) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von über .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.


Aufgabe * (7 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne den Hauptdivisor zu