Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 48 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Exponent} {} zu einer endlichen Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Fermatsche Primzahl} {.}
}{Eine \stichwortpraemath {R} {Algebra}{} $A$, wobei $R$ einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} bezeichnet.
}{Die
\stichwort {Diskriminante} {}
zu Elementen
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in L}{} bei einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{} vom Grad $n$.
}{Ein \stichwort {Dedekindbereich} {.}
}{Ein \stichwort {effektiver Divisor} {} in einem Zahlbereich $R$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Der Exponent
\mathl{\operatorname{exp}(G)}{} von $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass
\mathl{x^n=1}{} für alle
\mathl{x \in G}{} ist.
}{Eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
der Form
\mathl{2^{s}+1}{,} wobei $s$ eine positive
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{}
ist, heißt Fermatsche Primzahl.
}{Eine
$R$-Algebra
$A$ ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus
\maabb {} {R} {A
} {.}
}{Die Diskriminante von
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} wird durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (b_1, \ldots ,b_n)
}
{ =} { \det( S(b_ib_j)_{i,j} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Einen
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
$R$ nennt man einen \stichwort {Dedekindbereich} {,} wenn er
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
und
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist und wenn jedes von $0$ verschiedene
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
darin
\definitionsverweis {maximal}{}{}
ist.
}{Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe
\mathdisp {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p}} { , }
die sich über alle
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mathl{{\mathfrak p} \neq 0}{} aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak p}$ natürliche Zahlen sind mit
\mathl{n_{\mathfrak p} = 0}{} für fast alle ${\mathfrak p}$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Quadratcharakterisierung von $-1$ für Restklassenkörper von $\Z$.}{Der \stichwort {Satz von Dirichlet} {} über die Verteilung von Primzahlen.}{Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Dann gelten folgende Aussagen.
Für
\mathl{p =2}{} ist
\mathl{-1=1}{} ein Quadrat in
\mathl{\Z/(2)}{.}
Für
\mathl{p =1 \! \! \! \! \mod 4}{} ist $-1$ ein Quadrat in
\mathl{\Z/(p)}{.}
Für
\mathl{p = 3 \! \! \! \! \mod 4}{} ist $-1$ kein Quadrat in
\mathl{\Z/(p)}{.}}{Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $a$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo $n$ den Rest $a$ haben.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha_i$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann ist die reelle Zahl
\mathdisp {n^{\frac{1}{k} }} { }
irrational.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $831600$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 831600
}
{ =} { 2^2 \cdot 5^2 \cdot 8316
}
{ =} { 2^3 \cdot 5^2 \cdot 4158
}
{ =} { 2^4 \cdot 5^2 \cdot 2079
}
{ =} { 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 693
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 231
}
{ =} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 77
}
{ =} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.
}
{
Der euklidische Algorithmus liefert:
\mathdisp {3146 = 2 \cdot 1515 + 116} { }
\mathdisp {1515 = 13 \cdot 116 + 7} { }
\mathdisp {116 = 16 \cdot 7 + 4} { }
\mathdisp {7 = 1 \cdot 4 + 3} { }
\mathdisp {4 = 1 \cdot 3 + 1} { . }
Die Zahlen
\mathkor {} {3146} {und} {1515} {}
sind also teilerfremd und $1$ ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der $1$ erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1
}
{ =} {4 -1 \cdot 3
}
{ =} {4-(7- 1 \cdot 4)
}
{ =} {2 \cdot 4-7
}
{ =} {2(116-16 \cdot 7) -7
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {2 \cdot 116 - 33 \cdot 7
}
{ =} {2 \cdot 116 - 33 (1515- 13 \cdot 116)
}
{ =} {-33 \cdot 1515 +(2 + 13 \cdot 33) \cdot 116
}
{ =} {-33 \cdot 1515 +431 \cdot 116
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-33 \cdot 1515 +431 (3146-2\cdot 1515)
}
{ =} {-895 \cdot 1515 +431 \cdot 3146
}
{ } {}
{ } {}
}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{.} Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System
\zusatzklammer {ohne die Nuller- und die Zehnerreihe} {} {,}
ob $n$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
ist.
}
{
Die Zahl $n$ ist genau dann eine Primzahl, wenn im Kleinen Einmaleins zur Basis $n$ keine $0$ als Endziffer der Tabelleneinträge auftaucht. Wenn nämlich $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {a \cdot b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Ziffern $a,b$ kommen also im kleinen Einmaleins vor. Das zugehörige Produkt $ab$ hat in dem System die Ziffernentwicklung $10$ und somit taucht als Endziffer die $0$ auf.
Wenn umgekehrt die $0$ im kleinen Einmaleins als Endziffer auftaucht, so bedeutet dies, dass es Ziffern
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{i,j
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mathl{ij}{} ein Vielfaches von $n$ ist. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ij
}
{ =} {cn
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $n$ prim wäre, so müsste
nach dem Lemma von Euklid
$n$ einen der Faktoren teilen, doch das geht nicht, da diese beiden kleiner als $n$ sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {} durch Induktion über das Maximum von \mathkor {} {a} {und} {b} {.}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von
\mathkor {} {a} {und} {b} {,}
wobei wir ohne Einschränkung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wählen können. Wenn das Maximum $0$ ist, so sind beide Zahlen $0$ und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum $1$ ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ergeben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Darstellung der $1$. Es seien nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
teilerfremd,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als $b$ sind, schon bewiesen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar
\mathl{(a,b-a)}{} und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als $b$. Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich angewendet werden kann, wissen, dass auch
\mathkor {} {a} {und} {b-a} {}
teilerfemd sind.
Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis. Nehmen wir also an, dass
\mathkor {} {a} {und} {b-a} {}
nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die sowohl
\mathkor {} {a} {als auch} {b-a} {}
teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen
\mathl{m,n}{} mit
\mathkor {} {a=mt} {und} {b-a =nt} {}
gibt. Doch dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {(b-a)+a
}
{ =} { nt +mt
}
{ =} { (n+m)t
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls ein Vielfaches von $t$, im Widerspruch zur Teilerfremdheit von
\mathkor {} {a} {und} {b} {.}
Die Induktionsvoraussetzung ist also auf
\mathkor {} {a} {und} {b-a} {}
anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen
\mathl{r,s}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ra+s(b-a)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist aber auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (r-s)a +sb
}
{ =} { ra +s(b-a)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wir haben eine Darstellung der $1$ mit
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
gefunden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{2333}{3673}\right)} { . }
}
{Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
| = | hat modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
| |
| = | Reduktion des Zählers.
| |
| = | ||
| = | Vorne steht ein Quadrat. hat modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
| |
| = | Reduktion des Zählers.
| |
| = | und haben beide modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
| |
| = | Reduktion des Zählers.
| |
| = | ||
| = | Vorne steht ein Quadrat. und haben beide modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
| |
| = | Reduktion des Zählers.
| |
| = | , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz kein Quadratrest modulo .
|
Also ist kein Quadratrest modulo . }
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (I+J)^n
}
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei
\mathl{f \in (I+J)^n}{.} Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { f_1 + f_2 + \cdots + f_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_\ell
}
{ =} { c_{\ell 1} \cdot c_{\ell 2} \cdots c_{\ell n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{c_{\ell r} \in I+J}{} ist. Dies bedeutet wiederum, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{\ell r}
}
{ =} { a_{\ell r} + b_{\ell r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {a_{\ell r} \in I} {und} {b_{\ell r} \in J} {}
ist. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_\ell
}
{ =} { { \left( a_{\ell 1} + b_{\ell 1} \right) } { \left( a_{\ell 2} + b_{\ell 2} \right) } \cdots { \left( a_{\ell n} + b_{\ell n} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit $n$ Faktoren, wobei $s$ Faktoren zu $I$ und
\mathl{n-s}{} Faktoren zu $J$ gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die $f_\ell$ und auch $f$.
Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ genügt es, die Inklusion $I^s J^{n-s} \subseteq (I+J)^n$ für jedes $s$ zu zeigen. Wegen
\mathl{I,J \subseteq I+J}{} ist aber sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I^s J^{n-s}
}
{ \subseteq} { (I+J)^s \cdot (I+J)^{n-s}
}
{ =} { (I+J)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+1+1)}
{
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathl{F=X^3+X+2}{} in
\mathl{\Z/(5) [X]}{.}
b) Zeige, dass durch
\mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { }
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von
\mathl{F=X^3+X+2}{} über
\mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}
}
{Polynomring/Eine Variable/Z mod 5 und mod 25/Primfaktorzerlegung von X^3+X+2/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { }
erzeugt wird.
}
{
Wir bringen die drei Brüche auf einen Hauptnenner, was
\mathdisp {\frac{90}{210},\, \frac{175}{210} , \, \frac{63}{210}} { }
ergibt. Der größte gemeinsame Teiler der beiden ersten Zähler ist $5$. Da dies teilerfremd zu $63$ ist, sind die drei Zähler insgesamt teilerfremd. Daher wird das gebrochene Ideal durch
\mathl{\frac{1}{210}}{} erzeugt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller}{}{} \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass dann $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.
}
{
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Es sei
\mathl{A_{-10} = \Z[\sqrt{-10}] \cong \Z[X]/(X^2+10)}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-10}{.} Berechne den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mathdisp {q= \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10}} { . }
}
{Sei . Wir bringen auf einen Hauptnenner, also
![{\displaystyle R=A_{-10}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e104e5bd2ba710f192de70ea8f5a3fd6f6c8b7e)
- .
Der Nenner ist . Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:
Modulo .
- .
![{\displaystyle R/(3)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7f99f675209d5b25b1b94d33cd033a46af2cd1)
Das Polynom hat keine Nullstelle über , also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist ein Primideal in .
Modulo .
- .
![{\displaystyle R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3a498286784589deb164a9d03b4e3a92231dec)
Das Polynom ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal vor. Diesem Primideal entspricht in das Primideal . Es gilt die Idealzerlegung in .
Für den Zähler betrachten wir die Norm, also
- .
Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.
Modulo .
- .
![{\displaystyle R/(2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb979d17c28f587503490587bebf52ca0af69c6c)
Das Polynom ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal vor. Diesem Primideal entspricht in das Primideal . Es gilt die Idealzerlegung in .
Modulo .
- .
![{\displaystyle R/(19)=\mathbb {Z} /(19)[X]/(X^{2}+10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401cdb8b4758411985b68f33b105efde8721012a)
Das Polynom ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen und , und die Zerlegung . Damit gibt es die beiden Primideale und , die den beiden konjugierten Primidealen und entsprechen.
Damit ist
- .
Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In kann man schreiben, sodass zu gehört, und man erhält
- .
Damit ist der Hauptdivisor gleich
- .
}